X et jx étant les nouveaux paramètres homogènes ; k et /sont des nombres réels arbitraires. Ceci permet d’étendre à nos transformations la méthode du rayonnement pour la formation du polygone fondamental d’un groupe fuchsien discontinu. On peut démontrer, à l’aide de ces variétés et del’intégrale
C C C C C C d(èo d(ô ^0 dX. dq dQ’
JJJJJJ (ÇÇ’-wy ’
invariante par le groupe, que les transformés par un groupe discontinu d’un point du domaine qq’ - cre 2 >o, q + g">o, n’ont pas de point d’accumulation dans ce domaine. Ceci n’arrive pas pour qq’ 5e 2 < 0.
Considérons en particulier le groupe arithmétique, c’est-à-dire le groupe des transformations à coefficients a h b h c h d t entiers ; les coefficients de la transformation subie par a ?, x 2, x t, x A, x, sont alors aussi entiers et réciproquement. On peut trouver le polyèdre fondamental, mais ici il semble plus simple d’en avoir un autre que celui que donnerait la méthode du rayonnement ; celle-ci est pourtant utile dans la, recherche ; les inégalités suivantes définissent ce polyèdre pour le domaine <fê’ — 3e*>o Q + Q' > o
ICM-c-I. 1 ri" r ’. iwiM
<â> $’o<-> ’|3e |<-> o< 2 x<ç<ç’,
« n «s» «t, a 4 > «s désignant tous les systèmes de nombres entiers premiers entre eux satisfaisant aux deux conditions
« 4 a 5 + «, «*+. a* =0, («, «,)’+(«*- ^Y = a + a -+- 2a J + «J + a | < I ?,
Les substitutions fondamentales se trouvent directement ; ce sont :
° ° > O (OOO -I / ! O O O / I O O O
1 o o o f 1 o i o o
o o o 1 | 1 o o 1 o
0010/ (100 o
o 1 o o f 1 o j
o o
o o 1 o
I O I O
1 ° o I / o I O
I
Des fonctions invariantes par un groupe discontinu peuvent être formées facdement en remarquant que la transformation
1
7’ y
g + i g<+i’ *-g + g> + zh + ;'
