on a alors
/ Z.2 X $
?8 -*=•£[’
Les formules de transformation pour a ? 1} a ? a, a ? s, a ;, a ? 5 sont linéaires et homogènes.
Cette transformation donne lieu à l’identité
X, X 5 + X 2 X 4 + X|— X.X.+ #2«4 + x>
Donc aussi
. X I X 5l) +X 10 X à +X 2 X 40 +X 20 X 4 +2X 3 X 3û
= X X X iti + X 10 X 5 + «2 «40 + «20 «4 + 2 «3 ^30,
en appelant d’une façon générale m 10 le conjugué de m t. De là se conclut aisément que les six domaines ou variétés suivants sont invariants par nos
transformations :
i. gg’ 3e«>o, ç + g'>o ; 2. gçf ae«=o, g + g'><> ; 3. gç’ 3e*<o ; 4. gg’-5e==o, g + g’<o ;
5. gg’-5e 2 >o, g + g’<o ; 6. g = x = g’=o.
Un point d’un de ces domaines peut être transformé en un autre point quelconque du même domaine.
En cherchant à trouver une transformée S’-’ SS’ aussi simple que possible d’une transformation S donnée, on parvient, suivant la nature des racines d’une certaine équation réciproque du quatrième degré, à trente formes canoniques distinctes, donnant naissance à vingt-deux sortes de groupes cycliques. Cette étude permet, en particulier, d’avoir des renseignements sur les points doubles, leur nombre, leur place dans les six
domaines invariants..
Les variétés à cinq dimensions invariantes par les substitutions de point double g = g’ = i, h = o, et dont l’équation s’obtient en égalant à zéro une forme quadratique à indéterminées conjuguées en x t, x 2, x. À, x„ a ? 5, sont les suivantes :
(«+ 213 + yl(a ?l«10+«2 «20+«4«40+«5 «5o)
j (. « + 2(3 — y) (^jaîso+^io^s + « 2 «4o + x u x k) + 8$x 3 x 3 o
+ i(-. a+ y)(—X l X M + X 10 X 2 +X l X< 10 — J ?io«4 — «2 «50 + «20 «5 +«4 «50 — «40 « 6) = °>
a, 0, y étant des paramètres variables. De cette famille, nous en extrayons une autre ne contenant plus qu’un paramètre non homogène en posant
« + 2(3 + y — « +y i
k l ’
^-« + 2(3 — y = (a,
