ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de la fonction ï, (s) de Riemann. Note de M. G.-H. Habdy, transmise par M. J. Hadamard.
1. MM. H. Bohr etE. Landau ont donné tout récemment (’) la démonstration que la plupart des zéros complexes de Ç(s) sont situés, quel que
soit S positif, dans le domaine S < cr < — h S. Je me propose maintenant de démontrer que, parmi les zéros de Ç(s), il y en a une infinité sur la droite <r = - (2).
Je pars d’une formule connue de M. Cahen (3), savoir
..Ar-t-ï m
e r= db f T ^y~’ 1 du c m (/.) > °> k > °] ; k-l
d’où l’on déduit immédiatement
Je prends maintenant pour chemin d’intégration ïa droite (7 = 7- En faisant application du théorème de Cauchy et des formules de Riemann
où S(i) est réelle pour l réel, on est conduit à l’équation
e- re3 r. ■4« 2 ^
4 Dans cette équation, je pose y = itfi’*, où it< a < - ir, et
^.— y — g — m cosg— titsina-r- g ?"’T— - « — - pgi$ ■
(’) Comptes rendus, 12 janvier igi4 (2) J’ai communiqué déjà ce résultat à la Société mathématique de Londres (séance du 12 mars igx4).
(3) Thèse (Annales École Normale supérieure, 18g4, p. 99)- Cette formule a été retrouvée par M. Mellin (Acta Soc. Fennicœ, t. XX, n° 7, 1895, p. 6) qui en a fait des applications intéressantes.
