et j’obtiens la formule,
(2) / - — - — - dt =z n cos y a 7re* r{q),
4 +4r "
ou
i
Enfin, en différentiant zp fois par rapport à a, on a
(3) / l ’ , .’ ^^=-^- C ° S 4 a -fe) U" 6 (*T
4
2. Je vais me servir maintenant d’un lemme tiré de la théorie des fonctions elliptiques. Je suppose que a tende vers -tc, de sorte que q tende
vers. —, i suivant un chemin, tangent au rayon $ = -rc. Cela étant, je dis que le dernier terme de l’équation (3) tend, quel que soit p, vers la limite zéro. Pour cela, il suffit évidemment que toutes les fonctions
1
tendent vers zéro. Mais cette dernière proposition se déduit comme corolfaire des théorèmes généraux qu’on doit à MM. Bohr et Marcel Riesz, au sujet de la sommabilité des séries de Dirichlet. La série
i~ s -l-o + o — 4"’+o + o + o + o + q~ s +o +...,
convergente pour a ]> o, représente la fonction
régulière dans tout le plan et d’ordre fini dans tout demi-plan a^> a. La série est donc sommable, pour toute valeur de s, par les moyennes de Gesàro d’ordre assez élevé ; et pour s entier négatif, elle a la somme
(l-2 l - !s)Ç(2S)=0.
3. Il s’ensuit que, quand oc tend vers -u, l’intégrale (3) tend vers la limite -, p TC cos|-rc. Supposons maintenant que S(aï) garde un signe
