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ACADÉMIE DES SCIENCES.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. —
Sur les zéros de la fonction ![{\displaystyle \zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd45922057e4d7a5718ce5ed703ab493c63897a)
de Riemann
.
Note
[1] de
MM. H. Bohr et
E. Landau, présentée par
M. J. Hadamard.
Dans le Tome XXXVII (1914) des Rendiconti del Circolo Matematico di
Palermo, nous déduisons d’un nouveau théorème général sur les séries de
Dirichlet le fait suivant : Si
désigne un caractère
, le nombre
des zéros de la fonction.
![{\displaystyle \mathrm {L} (s)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\chi (m)}{m^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99df5e74d261cbe22bfc893bbf71559ee9d633f9)
situés dans le domaine
est, quel que soit
fixe et
positif,
. Aujourd’hui nous allons, en utilisant des propriétés spéciales
de
remplacer ce
par ![{\displaystyle o.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12cef662d99fbc4eab8ff36b52e64fe0bae446d)
Lemme I : Soit
Il existe un nombre
ayant la propriété suivante : Toute fonction
régulière
pour
et telle que
n’a pas, pour
plus
de
zéros.
Démonstration : Soit
le nombre des zéros appartenant au cercle
et
Alors il existe un nombre
tel que
![{\displaystyle \int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\,\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv\;>\;\mathrm {K} _{1}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6debf3840bc0fd53a75d9c2104c75ba64367b032)
car,
désignant un des
zéros,
![{\displaystyle \int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\,\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv\;>\;\int \limits _{\,\left|z-z_{0}\right|}\int \limits _{\leq \,\mathrm {R} -r}\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d286f1c32475f01f7ff6774d3385e36e232c034f)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\mathrm {R} -r}\rho d\rho \int _{0}^{2\pi }\left|F(z_{0}+\rho e^{\varphi i})-1\right|^{2}d\varphi \;>\;2\pi \int _{0}^{\mathrm {R} -r}\rho d\rho =\mathrm {K} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75ce6996d8f24eef472b3c64e231b3a1564f24e)
Il suffit donc de trouver
et
tels que, pour ![{\displaystyle n\geq n_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7296e8f399668993f9f07d90bb88d6076c409ad4)
![{\displaystyle n<\mathrm {K} _{2}\int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e85dd82d18e46e6709b1cbbbb5933c3bd3b2a39)
- ↑ Présentée dans la séance du 22 décembre 1913.