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SÉANCE DU 12 JANVIER 1914.

Or, d’après l’inégalité connue de M. Jensen, pour ${\frac {r+\mathrm {R} }{2}}\leq \rho \leq \mathrm {R} ,$

$n\operatorname {log} {\frac {r+\mathrm {R} }{2r}}+\operatorname {log} \mathrm {A} <\operatorname {log} {\frac {\rho ^{n}|\mathrm {F} (0)|}{r^{n}}}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {log} |\mathrm {F} (\rho e^{\varphi i})|d\varphi$

$\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {log} (1+|\mathrm {F} (\rho e^{\varphi i})-1|d\varphi \leq \int _{0}^{2\pi }|\mathrm {F} (\rho e^{\varphi i})-1|d\varphi$

$\leq {\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }(1+|\mathrm {F} (\rho e^{\varphi i})-1|^{2})d\varphi \,;$

donc, pour $n\geq n_{0}=n_{0}(r,\mathrm {R} ,\mathrm {A} ),$

${\frac {1}{2\pi }}|\mathrm {F} (\rho e^{\varphi i})-1|^{2})d\varphi >n\operatorname {log} {\frac {r+\mathrm {R} }{2r}},$

$\iint _{|z|\leq n}|\mathrm {F} (z)-1|^{2}dudv>n\operatorname {log} {\frac {r+\mathrm {R} }{2r}}\int _{\frac {r+\mathrm {R} }{2}}^{\mathrm {R} }\rho d\rho ={\frac {n}{\mathrm {K} _{2}}}.$

Lemme II : Soit la série $f(s)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a_{m}}{m^{s}}}$ convergente pour $\sigma >0,$ $0<\delta <1$ et $\mathrm {E} >1.$ Alors on a, uniformément pour ${\frac {1+\delta }{2}}\leq \alpha \leq \mathrm {E} ,$

$\lim _{\mathrm {R} \to \infty }{\frac {1}{2\mathrm {T} }}\int _{-\mathrm {T} }^{\mathrm {T} }|f(\alpha +ti)|^{2}dt=\sum _{m=1}{\frac {|a_{m}|^{2}}{m^{2\alpha }}}\quad \left(\leq \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {|a_{m}|^{2}}{m^{1+\delta }}}\right).$

Démonstration : Pour $\alpha$ fixe, c’est un théorème connu de M. Schnee (voir p. 799 du Handbuch de Landau). Pour $\alpha$ variable, la méthode de M. Schnee conduit aussi aisément à notre énoncé, ce que nous détaillons en quelques lignes dans notre Note aux Rendiconti cités plus haut.

Démonstration de $\mathrm {N} (\mathrm {T} )=o(\mathrm {T} ):$ On peut supposer que le nombre positif donné $\delta$ est $<{\frac {1}{2}}.$ Nous entendons par $\mathrm {M}$ un entier quelconque positif et nous posons, pour $\sigma >1,$

$\mathrm {L} _{\mathrm {M} }(s)=\mathrm {L} (s)\prod _{p\leq p_{\mathrm {M} }}\left(1-{\frac {\chi (\rho )}{p^{s}}}\right)=\prod _{p>p_{\mathrm {M} }}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (\rho )}{p^{s}}}}},$

fonction régulière dans tout le plan, sauf peut-être $s=1$ et possédant, dans le demi-plan ${\displaystyle }$, les mêmes zéros que ${\displaystyle }$. Posons encore

$\mathrm {F} _{\mathrm {M} }(s)=\left(1-2^{1-s}\right)\left(\mathrm {L} _{\mathrm {M} }(s)-1\right)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a_{m}}{m^{s}}},$