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SÉANCE DU 2 JANVIER 1917.

tiques, les correspondantes reçoivent à l’aide des polygones des figurations géométriques simples.

1^o Formes cubiques à trois racines réelles. $\mathrm {D}$ est un triangle non euclidien de sommets $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3}.$ La correspondante est représentée par l’orthocentre non euclidien de $\mathrm {D}$ [intersection des droites non euclidiennes (hauteurs) menées par les sommets orthogonalement aux côtes opposés).

2^o Formes cubiques à une racine réelle. $\mathrm {D}$ est l’arc du cercle orthogonal à l’axe réel qui va de $\alpha$ (racine réelle) à $\beta$ racine imaginaire : ($\beta '$ conjugué) Les tangentes en $\alpha$ et $\beta$ à ce cercle se rencontrent en $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} \beta '$ coupe l’axe réel en $\mathrm {P}$ qui est la projection sur cet axe du point $\zeta$ de l’arc $\alpha \beta$ qui représente la correspondante de $f.$

3^o Formes biquadratiques à quatre racines réelles. $\mathrm {D}$ est un quadrilatère non euclidien de sommets $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4}.$ La correspondante est représentée par le point d’intersection $\zeta$ des diagonales non euclidiennes.

4^o Formes biquadratiques ; deux racines réelles $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}\,;$ deux imaginaires $\beta$ et $\beta '.$ $\mathrm {D}$ est le triangle non euclidien de sommets $\beta \alpha _{1}\alpha _{2}.$ $\zeta$ représentatif de la correspondante est sur la hauteur non euclidienne $\beta \zeta ,$ menée de $\beta$ à $\alpha _{1}\alpha _{2},$ et au milieu non euclidien du segment $\beta \zeta$ de cette hauteur compris entre $\beta$ et son pied $\zeta ,$ sur $\alpha _{1},\,\alpha _{2}.$

5^o Formes biquadratiques positives, $\beta _{1}$ et $\beta _{2}$ sont les deux racines du demi-plan supérieur. $\mathrm {D}$ est l’arc $\beta _{1}\beta _{2}$ du cercle orthogonal à l’axe réel par $\beta _{1}\beta _{2}$ (segment non euclidien $\beta _{1}\beta _{2}$). La correspondante est représentée par le milieu non euclidien $\zeta$ de ce segment non euclidien $\beta _{1}\beta _{2}.$

Les cas 4^o et 5^o ne sont pas traités par Hermite. Par des considérations d’ordre arithmétique et géométrique, on arrive à supprimer bien des calculs dans les trois premiers cas, et à trouver pour le cas général des propositions qui, appliquées aux cinq cas précédents, les relient entre eux pour chaque degré de façon satisfaisante. Un Mémoire ultérieur développera ces considérations.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Une formule asymptotique pour le nombre des partitions de n. Note^[1] de MM. G.-H. Hardy et S. Ramanujan, présentée par M. Hadamard.

1 Les divers problèmes de la théorie de la partition des nombres ont été étudiés surtout par les mathématiciens anglais, Cayley, Sylvester et

1. Séance du 26 décembre 1916.