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ACADÉMIE DES SCIENCES.
Macmahon[1], qui les ont abordés d’un point de vue purement algébrique.
Ces auteurs n’y ont fait aucune application des méthodes de la théorie des
fonctions, de sorte qu’on ne trouve pas, dans la théorie en question, de formules
asymptotiques, telles qu’on en rencontre, par exemple, dans la
théorie des nombres premiers. Il nous semble donc que les résultats que
nous allons faire connaître peuvent présenter quelque nouveauté.
2. Nous nous sommes occupés surtout de la fonction
nombre des
partitions de n. On a
![{\displaystyle (|x|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d1557cc0c658825322a9ce54b24778e2c8f192)
Nous avons pensé d’abord à faire usage de quelque théorème de caractère
Taubérien : on désigne ainsi les théorèmes réciproques du théorème classique
d’Abel et de ses généralisations. À cette catégorie appartient
l’énoncé suivant :
Soit
une série de puissances à coefficients positifs, telle qu’on
ait
![{\displaystyle \log g(x)\sim {\frac {\mathrm {A} }{1-x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f04e1f6a8a896c10bfae3f467cdc7821a3b5e04)
quand
tend vers un par des valeurs positives. Alors on a
![{\displaystyle \log s_{n}=\log(a_{0}+a_{1}+\dots +a_{n})\sim 2{\sqrt {\mathrm {A} n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9420220bb6730591ba28d63153b0b8670c6330a7)
quand
tend vers l’infini[2].
En posant
on a
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f06f5fc44c11f3817c0d8857c2657a0f212a19)
;
et nous en tirons
(1)
où
tend vers zéro avec
3. Pour pousser l’approximation plus loin, il faut recourir au théorème
- ↑ Voir le grand Traité Combinatory Analysis de M. P.-A. Macmahon (Cambridge,
1916).
- ↑ Nous avons donné des généralisations étendues de ce théorème dans un Mémoire
qui doit paraître dans un autre Recueil.