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ACADÉMIE DES SCIENCES.
rème de Cauchy à la fonction
et l’on trouve
(5)
où
désigne un nombre quelconque supérieur à
L’approximation, pour
des valeurs assez grandes de
est très bonne : on trouve, en effet,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}p(61)&=1\,121\,505,&\quad &p(62)&=1\,300\,156,&\quad &p(63)=1\,505\,499\;;\\\mathrm {Q} (61)&=1\,121\,539,&\quad &\mathrm {Q} (62)&=1\,300\,111,&\quad &\mathrm {Q} (63)=1\,505\,536.\;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbbd383c32a40b660c08e551d26d75941864f9e)
La valeur approximative est, pour les valeurs suffisamment grandes
de
alternativement en excès et en défaut.
5. On peut pousser ces calculs beaucoup plus loin. On forme des fonctions,
analogues à
qui présentent, pour les valeurs
![{\displaystyle x=-1,\;e^{\frac {2\pi i}{3}},\;e^{-{\frac {2\pi i}{3}}},\;i,\;-i,\;e^{\frac {2\pi i}{5}},\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb27fa467eb1d060897b46bea0f7ad207f6d9bc)
des singularités d’un type très analogue à celles que présente
On
soustrait alors de
une somme d’un nombre fini convenable de ces
fonctions. On trouve ainsi, par exemple,
(6)
![{\displaystyle +{\frac {\sqrt {3}}{\pi {\sqrt {2}}}}\cos \left({\frac {2\pi n}{3}}-{\frac {\pi }{18}}\right){\frac {d}{dn}}{\frac {e^{{\frac {1}{3}}\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}+\mathrm {O} \left(e^{k{\sqrt {n}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6716b9d08b6c4d4dc6e0d40cc1c77102e7a063f6)
où
désigne un nombre quelconque plus grand que