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SÉANCE DU 2 JANVIER 1917.
de Cauchy. Des formules
![{\displaystyle p(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int {\frac {f(x)}{x^{n+1}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9169c695e3826a86c25d076224491bec7eb5449)
avec un chemin d’intégration convenable intérieur au cercle de rayon un, et
(2)
(fournie par la théorie de la transformation linéaire des fonctions elliptiques),
nous avons tiré, en premier lieu, la formule vraiment asymptotique
(3)
On a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}p(10)&=42,&\quad &p(20)&=627,&\quad &p(50)=204\,226,&\quad &p(80)=15\,796\,476\;;\\\mathrm {P} (10)&=48,&\quad &\mathrm {P} (20)&=692,&\quad &\mathrm {P} (50)=217\,590,&\quad &\mathrm {P} (80)=16\,606\,781\;;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0d0b22f5336e0bb7c0b7e60e925f92544f4ea8)
Les valeurs correspondantes de
sont
![{\displaystyle 1,154\,;\qquad 1,104\,;\qquad 1,065\,;\qquad 1,051\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b607d77d3e5f39d0ff9197e0f45f2e93e945d22)
la valeur approximative est toujours en excès.
4. Mais nous avons abouti plus tard à des résultats beaucoup plus satisfaisants.
Nous considérons la fonction
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{1}^{\infty }{\frac {d}{dn}}\left\{{\frac {\operatorname {ch} \left[\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\,\right]-1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right\}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9bea3de7c083b85e87b99d3329364452b3406d)
En faisant usage des formules sommatoires que démontre M. E. Lindelöf
dans son beau livre Le calcul des résidus, on trouve aisément que
(on
parle, il va sans dire, de la branche principale) a pour seul point singulier
le point
et que la fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)-{\frac {x^{\frac {1}{24}}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\log {\frac {1}{x}}}}\left(e^{\frac {\pi ^{2}}{6\log {\frac {1}{x}}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66ed03772c8d9b9decb619a62d15c88d4ebbdcb)
est régulière pour
On est conduit naturellement à appliquer le théo-