Les problèmes dont Pascal y donne la solution, consistent à sommer les nombres naturels, triangulaires, pyramidaux, et à trouver aussi les sommes de leurs carrés et de toutes leurs puissances. Ces questions, que l’habitude de l’algèbre a rendues faciles, et que Fermat a aussi résolues, ont été traitées par Pascal selon une méthode ingénieuse et singulière. Il forme des cases dans un triangle équilatéral, en le divisant par des lignes parallèles à chacun de ses deux côtés, et également distantes entre elles. Il place dans les cases les plus voisines de chaque côté les nombres constants, et ensuite, successivement dans chaque case de l’intérieur, la somme de tous les nombres écrits dans la suite des cases qui la précèdent, depuis le sommet de ce rang, jusqu’au terme correspondant à la case qu’on veut remplir. D’après cette formation, on voit que tous les nombres figurés se trouveront successivement inscrits dans ces cases ; et puisque chaque case est déterminée par deux nombres, relativement à chaque côté du triangle, un des deux marquera le rang que le nombre figuré occupe dans la suite à laquelle il appartient, et l’autre l’ordre qu’occupe cette suite parmi celle des nombres figurés.
Pascal déduit ensuite, de la formation de son triangle, le rapport de chaque nombre avec celui qui le précède dans les deux rangs qui lui sont supérieurs, chacun par rapport à un des côtés du triangle. Ce rapport une fois trouvé, il applique cette connaissance à la détermination de la somme de chaque suite de nombres figurés, à celle de leurs
