temps
satisfont au système d’équations différentielles
(III) |
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94499fdcc4421e04f13f589f220a2a13ba29aa3c) |
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e58d584c2deb6b61ad868d658061842facc4116) |
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![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abc9295b823a77e73e2a6b70ecaa0cf33f8707d) |
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![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abc9295b823a77e73e2a6b70ecaa0cf33f8707d) |
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étant le nombre d’atomes de B qui proviennent d’un atome
de A, et
le nombre d’atomes de C qui proviennent d’un atome de B.
Les valeurs de
et de
étant connues par le calcul précédent,
il suffit de trouver la valeur de
On obtient pour celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}+\mathrm {C} _{2}+\mathrm {C} _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fabb2dd1cbed57918e9f89827e983b4f171a6e2)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}=n_{1}n_{2}ab\mathrm {A} _{0}\left[{\frac {e^{-at}}{(b-a)(c-a)}}+{\frac {e^{-bt}}{(a-b)(c-b)}}+{\frac {e^{-ct}}{(a-c)(b-c)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cc5edb62d9ca8b6b57ac7eb0d37bc5a93b5555)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2}={\frac {n_{2}b\mathrm {B} _{0}}{c-b}}(e^{-bt}-e^{-ct}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d474d19852e6df950640a0f67d85b866553dd18)
![{\displaystyle \mathrm {C} _{3}=\mathrm {C} _{0}e^{-ct}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1b92acc0f90d2b3c3ee8add75ef60bf3dc0060)
Le terme
représente la quantité de matière C qui à l’instant
résulte de la transformation de la matière A initialement présente.
Le terme
représente la quantité de matière C qui à l’instant
résulte de la transformation de la matière B initialement présente.
Le terme
représente la quantité de matière C qui à l’instant
reste de la quantité
initialement présente.
On peut remarquer que le terme
est la solution d’un système
analogue au système (II), et se déduisant du système (III) par suppression
de tous les termes relatifs à
. De même le terme
est la
solution d’une équation analogue à (I), à laquelle se réduit le
système (III), quand on y supprime tous les termes relatifs à
et à
.
Il est d’ailleurs évident que si la matière C est seule initialement
présente, la quantité de cette substance à l’instant
donnée
par
correspond au problème d’une seule substance ; si la matière
C dérive d’une matière B qui était aussi présente à l’instant
initial, il faut ajouter à la solution
une solution
correspondant
au problème de deux substances, et si la substance B dérive