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d’une substance A présente à l’origine du temps, un nouveau terme $\mathrm {C} _{1}$ s’ajoute aux précédents, ce terme correspondant seul au problème de trois substances.

La solution complète pour $\mathrm {C}$ est une combinaison linéaire de trois fonctions exponentielles $e^{-at},\ e^{-bt},\ e^{-ct}.$

93. Cas général. — Les formules relatives à deux, trois et quatre substances ont été données par P. Curie^[1], par M. Rutherford^[2] et par M. Grüner^[3]. Les résultats obtenus sont susceptibles de généralisation pour le cas d’un nombre quelconque $m$ de substances dérivant l’une de l’autre par transformations successives (famille de matières radioactives).

Désignons par

$\mathrm {N} _{1},\ \mathrm {N} _{2},\dots ,\ \mathrm {N} _{i},\dots ,\ \mathrm {N} _{m}$

les nombres d’atomes à l’instant $t$ ; par

$\lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \dots ,\ \lambda _{i},\ \dots ,\ \lambda _{m}$

les constantes radioactives ; par

$n_{1},\ n_{2},\ \dots ,\ n_{i},\ \dots ,\ n_{m-1}$

les nombres d’atomes radioactifs semblables entre eux, produits par la destruction des atomes considérés.

On aura à résoudre le système d’équations

(IV)	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\{$	${\frac {d\mathrm {N} _{1}}{dt}}$	$=-\lambda _{1}\mathrm {N} _{1},$
		${\frac {d\mathrm {N} _{2}}{dt}}$	$=-\lambda _{2}\mathrm {N} _{2}+n_{1}\lambda _{1}\mathrm {N} _{1},$
		$\dots \dots$	$\dots \dots \dots$
		${\frac {d\mathrm {N} _{m}}{dt}}$	$=-\lambda _{m}\mathrm {N} _{m}+n_{m-1}\lambda _{m-1}\mathrm {N} _{m-1}.$

La solution qui fournit $\mathrm {N} _{m}$ est une combinaison linéaire de $m$ fonctions exponentielles, caractérisées par les $m$ coefficients $\lambda .$

1. P. Curie, Comptes rendus, 1903 et 1904.
2. Rutherford, Radioactivity.
3. Grüner, Arch. des Sc. phys. et nat., 1907.