de thorium X présents après un temps
![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {\Delta }{\lambda }}\left(1-e^{-\lambda t}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a975f2e40954d1a085836f143d47914c8bad4013)
étant la vitesse de formation supposée constante, et, pour le
nombre
d’atomes de dépôt actif.
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\Delta n}{a}}\left(1-{\frac {a}{a-\lambda }}e^{-\lambda t}+{\frac {\lambda }{a-\lambda }}e^{-at}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2b213dae1d8563da398a69c952cf2082e4b5dc)
étant le nombre d’atomes de thorium A qui proviennent d’un
atome de thorium X.
Quand le thorium X a été séparé, les nombres d’atomes de thorium
X et de dépôt actif, qui sont présents à l’instant
après
la séparation, sont donnés par les formules
![{\displaystyle \mathrm {N} =\mathrm {N} _{0}e^{-\lambda t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d127e1c6d1e0161f73c8a5c19d5d7d19ae0abf)
![{\displaystyle \mathrm {A} =n\mathrm {N} _{0}{\frac {\lambda }{a-\lambda }}\left(e^{-\lambda t}-e^{-at}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea16887c4604b5774b58eba6200624646e46b7c3)
Dans les deux cas le rayonnement
est donné par une équation
de la forme
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}=k_{1}\lambda \mathrm {N} +k_{2}a\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76eb7c56637a8434345ab86b57a75244c5aa00a3)
et le rapport des activités du thorium X accompagné de l’émanation,
d’une part, et du dépôt actif en équilibre de régime avec le
thorium X, d’autre part, est mesuré par le quotient
soit
.
On trouve alors pour l’évolution de l’activité
du thorium X
![{\displaystyle {\frac {\mathfrak {I}}{\mathfrak {I}}}_{0}=e^{-\lambda t}\left(1+{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}\right)-{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}e^{-at},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c015b387ddfa1a6b8f3dafa0a035a8240ec57b)
étant l’intensité initiale.
La courbe représentative, après avoir passé par un maximum,
tend vers une loi de décroissance exponentielle caractéristique
du thorium X ; cette loi est sensiblement atteinte en 4 jours. On
peut alors, en extrapolant cette courbe limite vers l’origine,
obtenir l’ordonnée initiale
qui vérifie la relation
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {J} _{0}}{{\mathfrak {I}}_{0}}}=1+{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120d82926e768cabeb6f7a32254710ca6bbe5c4d)