SECTION I. D F. LA STATIQUE. 71
S'il y a équilibre autour des trois axes auxquels se rapportent les rotations dtp, d* f du, il y aura évidemment équilibre autour de l'axe auquel se rapporte la rotation résultante </8: or, la pois- tion de ce dernier dépendant du rapport des quantités dtp, dv, du>, qui, cpnime on l'a vu, entrent dans les équations de ses pro- jections, et ce rapport étant entièrement arbitraire, cette posi- tion est également arbitraire \ ainsi l'équilibre de rotation au- tour des trois premiers axes suppose un équilibre pareil autour d'un axe quelconque passant par leur point commun de ren- contre, et par conséquent un équilibre absolu de rotation au- tour de ce même point.
155. L'axe autour duquel s'exerce la rotation </fl, résultante Ctqntcjni des trois rotations simultanées dp, d*, de», s'appelle axe instan- L,:<»u- de m. tanê de rotation.
156. Les formules d'équilibre données ( i5o et i5i) ont a™'«b« <&» l'avantage sur celles de l'article i34, de ne supposer aucune m^fdvfquiii. composition ni décomposition préliminaire des moteurs, et .i"."! P ïlc* de les prendre dans leur état actuel de quantité et de direc- £ cm ™«' , - Co '>' tion ; 011 verra quel avantage elles fournissent par -la pour la «t <f« solution des questions d'équilibre, et même, sous ce point de
vue , les conditions générales d'équilibre , données précédem- ment , se déduit oient comme corollaires des dernières formules ; par exemple, dans les formules (i5o), chaque moteur est mul- tiplié par le cosinus de l'angle qu'il forme avec les trois axes ou leurs parallèles : or il est aisé de s'assurer que ces produits ne
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égalités yd* -H xd-r ~ o; zdt -+- yd» — o ; xJt •+- zd* =r o ; ajoutant ces trois équations, et divisant par a , on aura xd* -4- yd* ■+■ zdt — o , équation demandée.
lequel il se trouve tourne autour de cette origine. On sait que ■ ctte distance est généralement égale à ✓ (x 3 H-^' + z'). expression très facile à trouver ; ainsi on aura la proportion dil 1 ::i:V(x'+y'+ d'où t — dS ✓ (x'-r-.y* -*-*■).
On sait encore, et il est aussi aisé de se rendre compte, qu'un espace infiniment petit quel- conque, décrit par un point rapporté à trois coordonnées x,y, z, est égal à V (rfr'-f- d\ J -+- dz'); ce qui donne une seconde valeur / = \/(dx'-\- dy' 4- dz'). Nous avons vu dans le texte que dx=.zd* — yd*; dy— rd» — zd*; dz—ydv — xdm; ainsi la dernière valeur de / deviendra / = ✓( (xd» — zd* )* -f. (y d* — xd»)' ■+■ (zdm — yd*)') , ou /* = (x* -i-y' ■+■ z') (d<r'+d*> 4- </»') — (xd* +yd. + zd;)\
La seconde partie de cette valeur de /' est égale à zéro , puisque c'est l'équation du plan dans lequel se trouve l'arc /. ainsi qu'on l'a trouvé plus haut. On a donc simplement / = V((x , - r - y ' ■+• z') (dv* -+- «/•* -t- ). 1 galant cette valeur de * à la première trouvée, on a, réduction faite, di ~ V{d** -+- du 1 -+- «/#*).
Ceci fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements de rota- tion; et comme le rapport entre les composantes est arbitraire, lorsqu'il n'est déterminé par aucune condition particulière , cette méthode est aussi générale que celle qui a rapport aux mouvements de translation.
