revint à la division décimale du rayon, et l’on trouva dans les formules trigonométriques un moyen de changer les multiplications en additions ou en soustractions. Ce moyen fut, pour cette raison, appelé la prostaphérèse. Il restait encore à remplacer les divisions ; on en vint à bout, en combinant les sécantes et les cosécantes avec les sinus et les cosinus. Rigoureusement parlant, le problème était résolu ; il n’y avait pas d’expression trigonométrique si compliquée, que la Table de Rhéticus, par exemple, ne pût calculer par une suite d’additions et de soustractions ; mais ce moyen était souvent fastidieux par toutes les préparations qu’il exigeait. On n’avait, à la vérité, qu’un petit nombre de règles, qui revenaient toujours les mêmes, mais qu’il fallait combiner de diverses manières, en sorte que, le plus souvent, on en revenait aux multiplications et aux divisions, que l’on ordonnait de manière à supprimer de fait tout ce qui devait être finalement négligé. Archimède avait autrefois tiré un parti fort ingénieux de deux progressions, l’une géométrique et l’autre arithmétique, qui, suivant la notation moderne, se réuniront en une seule, en écrivant :
100: 101 : 102 : 103 : 104 : etc. à l’infini, ce qui équivaut à 1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 : etc.
Il avait vu que 102 × 103 = 100 x 1000 = 100000 = 105 ; il aurait pu ajouter que ; qu’ainsi la multiplication était changée en une simple addition, et la division en une simple soustraction. La première de ces remarques suffisait à son but ; il négligea l’autre. Il n’avait à faire que la première des deux opérations que nous venons d’indiquer ; il lui suffisait du théorème........ 10m × 10n = 10(m+n) ; il ne donna que cette seule règle ; il aurait pu donner la seconde .
Il n’appliqua même sa remarque qu’à la seule progression dont la raison est 10 et le premier terme est l’unité. Il fallait généraliser le principe, imaginer une progression e0 : e1 : e1 : e3 : e4 : e5, etc., dont la raison fût telle, que chaque terme différât si peu du précédent et du suivant, que la suite des nombres naturels 1, 2, 3, 4, etc., put s’y trouver tout entière, ou du moins, si la chose était impossible, que cette série offrit toujours un nombre assez approchant d’un nombre donné quelconque, pour que la différence pût être, négligée sans aucun incon-
