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CXIX. — 31 Mars 1638.

En fermant ce pacquet ie reçoy vne lettre d'Vtrecht, de laquelle ie vous enuoye vne partie, affin que vous puiffiez voir par la qu'il y en a qui peuuent entendre ma Géométrie.

Page 93, I. 16. — Descartes dira, à propos de cette même question, lettre CLIII ci-après à Frenicle, 9 janvier 1639 : «il n'y a pas encore vn

» an que i'ignorois ce qu'on nomme les parties aliquotes d'vn nombre;. ..il

» me fallut emprunter vn Euciide, pour l'apprendre, au sujet d'vne ques-

» tion qu'on m'auoit proposée... » {Clers., II, 43 1.)

II semble toutefois que les trois questions d'arithmétique que Descartes résout dans cette lettre ne lui aient pas été réellement proposées par Etienne Pascal et Roberval; s'ils les avaient énoncées dans leur Ecrit perdu, c'était plutôt à titre d'exemples des propositions dont Fermât pouvait se faire honneur. En particulier, pour la troisième de ces questions, Mersenne avait déjà inséré une solution (identique à celle de Descartes) dans la Seconde Partie de l'Harmonie universelle, 1637 [Nouvelles Observations Physiques et Mathématiques, p. 26 et suiv.) , après avoir, dans la Première Partie, 1636 {Préface générale, p. 9 non numérotée), annoncé cette solution en déclarant qu'elle était due à Fermât. Ce dernier en parle d'ailleurs, dans une lettre à Mersenne du 24 juin 1636 (Œuvres de F., II, 1894, p. 20), comme envoyée par lui depuis longtemps à Beaugrand.

C'est probablement aussi ce dernier qui aura communiqué aux amis de Fermât les deux théorèmes qui précèdent; s'ils ne se retrouvent pas dans ce qui nous reste de la correspondance de Fermât, ils n'en ont pas moins dû faire partie de ses premières remarques sur la théorie des nombres. Quant aux questions géométriques indiquées plus loin (p. 94, 1. 19) comme se trouvant dans l'Ecrit perdu d'Etienne Pascal et Roberval, la première semble être le lieu plan, déjà envoyé par Mersenne à Descartes (voir tome I, p. 377, 1. 5); les autres doivent se rapporter aux quadratures de spirales dues à Fermât [Œuvres de F., II, p. 12-17) et déjà aussi mentionnées par Mersenne dans la Seconde partie de l'Harmonie universelle (l. c, p. 2).

Pour en revenir au problème des couples de nombres respectivement égaux chacun à la somme des parties aliquotes de l'autre (nombres amiables), il remonte aux Pythagoriciens, qui connaissaient le premier couple [lamblichus in Nicomachi Arithmeticam, éd. Tennulius, p. 47). Fermât, tout en donnant la même règle que Descartes, n'avait calculé que le second couple. Woepcke [Notice sur une théorie ajoutée par Thâbit ben Corrah à l'arithmétique spéculative des Grecs. — Journal asiatique, oct.-nov. i852, p. 420-429) a fait connaître que cette règle avait déjà été formulée par un mathématicien arabe du IXe siècle.