CLV. — 9 Février 1659. 509
indiscrétion du Minime. Beaugrand y cite en effet deux passages de la lettre confidentielle XCVII bis (tome I, p. 479, 1. 5-6, et p. 480, 1. io-i3).
Page 5o3, 1. 6. — Les deux questions de cet alinéa et celle du suivant ont été proposées par Mersenne à Fermât en même temps qu'à Descartes. Fermât répondit par une lettre du 20 février lôBg (Œuvres de F., t. II. 1894, p. 179-181). On y voit notamment que l'énoncé des deux problèmes de Dounot était en latin.
Ce Dounot avait publié en 1610 : Les Eléments de la Géométrie d'Eu- clide Megarien traduits et restitués selon l'ordre de Theon, le tout par Dounot de Bar-le-Duc. Paris, I. Le Roy. 4».
Page 504, 1. 29. — Cette expérience, comme toutes celles qu'entrepre- nait alors Mersenne, quoique Descartes, à vrai dire, ne l'y encourageât guères, avait été évidemment provoquée par les Nuove Scien:{e de Galilée. Mais elle est remarquable en ce qu'elle eût dû permettre de devancer quelque peu Torricelli pour la découverte de la loi sur l'écoulement des liquides à laquelle son nom est resté attaché, et qu'il publia en 1644.
Page 5o6, 1. i5. — Voir p. 478, Y éclaircissement sur p. 472, 1. 10. — Dans la nouvelle solution qui suit. Descartes construit le grand axe des ellipses demandées par Frenicle, en élevant au carré le produit de m fac- teurs impairs et premiers de la forme w-+ i (m est donc nécessairement pair). S'il multiplie ensuite par 3 ou « par quelqu'autre nombre Impair et premier », c'est par suite d'une bévue, comme il le dira dans la lettre CLX, du 3o avril 1639 (Clers., III, 485). Il ne donne d'ailleurs cette solution que comme particulière.
Le carré du nombre ainsi formé ne devrait être décomposable que de m façons différentes en une somme de deux carrés. Descartes n'a donc pas encore reconnu que la multiplication de facteurs différents entraînait de nouvelles décompositions. Il montrera lui-même, le 3o avril {ib., III, 486) que le nombre 629 ', qu'il donne ici comme se prêtant à deux décomposi- tions seulement, peut servir à quatre.
Contrairement à l'intention de Frenicle, Descartes se pose cette fois la condition que le grand axe soit impair. Soient donc a,b,c, les deux axes et la distance des foyers d'une ellipse (a' — b'+ c^);'û veut satisfaire en outre aux conditions que b,c,lC = 2-=^ et I K = '^~'" ' soient entiers et que l'on ait b <.c. Chaque facteur premier de la forme «» + i correspond à un système de valeurs de a, b, c, proportionnelles à n- -\- i,2 n,n- — \. Pour que a et c soient de même parité. Descartes doit donc faire corres- pondre è à 2 «, et pour avoir 2 « < n ' — 1 , exclure la valeur n = 2, c'est- à-dire le facteur premier 5.
Les valeurs entières des éléments de chaque ellipse sont, en appelant k le produit des autres facteurs premiers introduits :
CD =/f»(n» + i)», FL=fc»(«»-l- I) 2«, EI = A-=(«4— i), IC = /c»(nî'-|-i), IK = 2fc».
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