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NOTE SUR LE PROBLÈME DE PAPPUS
GEOMETRIE DE DESCARTES, page 377.

Traduction du texte grec de Pappus, d’après l’édition de Fr. Hultsch

(Pappi Alexandrini Collectionis quœ supersunt, vol. II, Berlin, Weidmann, 1877, pp. 676-680).

Nous donnons tout d’abord le passage, visé dans ce texte, du préambule du livre I des Coniques d’Apollonius :

« Le livre III contient nombre de théorèmes remarquables, qui sont

» utiles pour la synthèse des lieux plans et la détermination des condi-

» tions de possibilité des problèmes. La plupart de ces théorèmes et les

» plus beaux sont nouveaux ; leur découverte nous a fait reconnaître

» qu’Euclide n’a pas effectué la synthèse du lieu à 3 et 4 lignes, mais seu-

» lement celle d’une partie de ce lieu prise au hasard, et qu’il ne s’en est

» même pas heureusement tiré ; c’est que, sans nos découvertes, il n’était

» pas possible de faire la synthèse complète. »


Pappus : « Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos

» de son livre III, qu’Euclide ne l’a pas complètement traité, lui-même,

» pas plus qu’aucun autre, n’aurait pu l’achever, ni même rien ajouter à

» ce qu’Euclide en a écrit, du moins en s’en tenant exclusivement aux

» Éléments des Coniques déjà démontrés au temps d’Euclide... »


« Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se

» décerne de grands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir

» gré au premier qui en a écrit. Si, trois droites étant données de posi-

» tion, on mène d’un même point, sur ces trois droites, trois autres sous

» des angles donnés, et qu’on donne le rapport du rectangle compris sous

» deux des menées au carré de la troisième, le point se trouvera sur un

» lieu solide donné de position, c’est-à-dire sur l’une des trois coniques.


» Si c’est sur quatre droites données de position que l’on mène des droites

» sous des angles donnés, et qu’on donne le rapport du rectangle de deux

» des menées à celui des deux autres, le point se trouvera de même sur

» une section conique donnée de position. D’autre part, si les droites

» sont seulement au nombre de deux, il est établi que le lieu est plan ; mais,

» s’il y a plus de quatre droites, le lieu du point n’est plus de ceux qui

» soient connus ; il est de ceux qu’on appelle simplement lignes (sans en

» savoir davantage sur leur nature ou leurs propriétés), et on n’a fait la