été magistralement élucidée dans le remarquable ouvrage de M. Zeuthen, de Copenhague, ouvrage traduit en allemand par M. von Fischer-Benzon, sous le titre : Die Lehe von den Kegelschnitten in Altertum (Copenhague, Höst, 1886). Nous relèverons donc seulement, ici, ce qui, dans le langage d’Apollonius et de Pappus, pouvait induire en erreur, au XVIIe siècle, sur l’histoire réelle de ce problème.
Il a dû être posé et résolu, par les procédés d’analyse géométrique des anciens, dans un ouvrage un peu antérieur à Euclide, les cinq Livres des Lieux Solides d’Aristée (lesquels contenaient d’ailleurs certainement les éléments de nombre de théories qui font défaut dans les Coniques d’Apollonius, et que, par suite, on a cru à tort ignorées de lui, comme les propriétés du foyer de la parabole, des directrices des coniques, etc.).
La synthèse, dont la marche était tout indiquée par l’analyse, n’offrait d’intérêt que comme exercice ou application à des données particulières ; mais il importait de réunir et d’établir les divers théorèmes nécessaires, soit pour la faciliter, soit pour la rendre complète. Ce fut le but (et non pas la synthèse elle-même) que paraît s’être proposé Euclide dans une partie de ses quatre Livres des Coniques, ouvrage qui n’était déjà plus étudié au temps de Pappus ; Euclide semble s’y être borné à réunir les travaux synthétiques des géomètres plus anciens, et cela, pour faciliter en particulier l’étude des Lieux Solides d’Aristée. Apollonius accomplit, dans son troisième Livre, la théorie laissée imparfaite (un des grands progrès qu’il réalisa fut, en particulier, la considération simultanée des deux hyperboles opposées, ou, comme nous le disons, des deux branches d’une même hyperbole) ; mais ce Livre ne pouvait être utilisé, pour le lieu à trois ou quatre droites, que si l’on connaissait déjà la solution analytique, qui, seule, pouvait mettre en lumière la véritable portée des théorèmes d’Apollonius et la façon de les appliquer.
Au commencement du XVIIe siècle, les géomètres, n’ayant plus l’ouvrage d’Aristée, pas plus que les Coniques d’Euclide, ne disposant que des quatre premiers Livres d’Apollonius et des indications très insuffisantes de Pappus, avaient donc, pour résoudre la question du lieu à trois et quatre droites, à retrouver l’analyse ancienne, dont ils ignoraient les procédés, ou à essayer une divination réellement difficile.
Aussi Descartes ne pouvait guère mieux choisir que ce lieu pour illustrer, par un exemple frappant, l’emploi de la méthode analytique nouvelle qu’il avait conçue pour faciliter l’application du calcul algébrique à la géométrie.
Le problème avait été proposé par Golius à Mydorge, au moins dès 1630 (Correspondance, tome I, p. 256, 1. 18), et à Descartes en 1631 (Ibid., p. 232-235). Dès avant la publication de sa Géométrie, Descartes l’indique à Mersenne, en t632 et 1 634, comme un problème à poser à Roberval (Ibid., p. 256 et 288). Avant 1637, Fermat (Œuvres de F., II, p. 105, 1. 2) l’avait résolu à la façon des anciens ; sa solution, très élégante, pour le lieu à trois droites, se trouvé seule conservée. Roberval ne parait s’en être occupé que plus tard, mais le 4 août 1640 (Ibid., p. 201, 8), il
