écrit à Fermat : « Depuis cette invention (celle de sa méthode des tan-
» gentes), je me suis appliqué aux lieux solides ad tres et quatuor lineas,
» lesquels j’ai entièrement restitués, quoique, pour n’y rien oublier, il ne
» faille guère moins de discours qu’aux six premiers Livres des Elé-
» ments. » Il avait donc dû faire la synthèse complète.
2. Le problème général, tel que l’énonce Pappus pour un nombre
quelconque de droites, peut aisément se poser comme suit. Soient :
les équations de 2n droites en coordonnées rectangulaires ou obliques, λ un coefficient arbitraire, l’équation du lieu à 2n droites sera :
tandis que celle du lieu à 2n - 1 droites serait :
Dans les deux cas, l’équation est du degré n, mais, à cause du double signe λ, elle représente l’ensemble de deux courbes de ce même degré, circonstance que n’a pas relevée l’auteur de la Géométrie.
Il est à remarquer que la définition de Pappus pour le lieu en général, quand le nombre des droites est impair, ne concorde pas avec sa définition particulière pour le lieu à trois droites, qui revient à l’équation :
Enfin, c’est par suite d’une heureuse erreur, puisqu’elle lui a fait aborder au moins deux cas simples du lieu à cinq lignes, que Descartes a interprété la traduction de Commandin comme si les anciens avaient traité l’un de ces cas. Quoique le texte de Pappus reste douteux, il a certainement voulu dire tout le contraire.
3. Dans sa solution générale, Descartes reconnaît nettement la nature algébrique de la courbe et le degré de l’équation ; seulement, de même qu’il classe les problèmes d’après le degré de la courbe à employer pour les résoudre avec un cercle et non avec une ligne droite, il comprend sous un même genre, d’ordre n, les courbes de degré 2n et 2n - 1. Cette nomenclature amène quelques ambiguïtés.
D’autre part, il affirme que toute courbe du genre n (degré 2n) peut être lieu pour 4n droites. Ceci est vrai pour n = 1 ; il suffit de remarquer, pour les courbes du second degré, que, le lieu passant en général par chacune des intersections d’une droite A avec une droite B, on a ici quatre points et que le coefficient λ donne la cinquième condition pour déterminer la conique. La proposition est encore vraie pour n = 2 (lieu à huit droites). Mais, pour les valeurs supérieures de n, le nombre des conditions nécessaires pour déterminer la courbe générale du degré 2n, dépasse celui des conditions du problème. Il n’y a donc en général, si n > 2, que certaines espèces de courbes du degré 2n qui jouissent de la
