maniere qu’on soit remboursé entierement au bout
de tel nombre d’années qu’on voudra jusqu’à cent
ans ; c’est-à-dire, la valeur des annuités qui rapporteroient
100 livres, pendant un certain nombre d’années.
Voici une partie de cette table, qui peut être
très-commode dans le calcul des annuités.
Table des sommes qu’on doit prêter pour recevoir 100 l. à la fin de chaque année, de maniere qu’on soit remboursé entierement au bout de tel nombre d’années qu’on voudra jusqu’à 100 ans.
Si on veut savoir la méthode sur laquelle cette
Table est formée, la voici. Supposons qu’on emprunte
une somme que j’appelle a & que, les intérêts
étant comptés sur le pié du denier 20, ou en
général du denier , on rende chaque année une
somme b, & voyons ce qui en arrivera.
En premier lieu, puisque les intérêts sont comptés
sur le pié du denier , il s’ensuit que celui qui
a emprunté la somme a, devra à la fin de la premiere
année cette somme, plus le denier de
cette somme, c’est-à-dire, qu’il devra ou
. Or par la supposition, il rend à la fin
de la premiere année la somme b ; donc au commencement
de la seconde année il n’emprunte plus
réellement que la somme
A la fin de la seconde année il devra donc
ou ;
& comme à la fin de cette seconde année il rend
encore b, il s’ensuit qu’au commencement de la
troisieme année il n’emprunte plus que
A la fin de la troisieme année il devra donc
, dont il faut encore
retrancher b pour savoir ce qu’il emprunte réellement
au commencement de la quatrieme année.
Donc ce qu’il doit réellement à la fin de la ne.
année sera
.
D’où il s’ensuit que si le payement doit se faire
en un nombre n d’années, il n’y a qu’à faire la
quantité précédente égale à zéro ; puisqu’au bout
de ce tems, par la supposition, le débiteur se sera
entierement acquité, & qu’ainsi sa dette sera nulle
ou zero à la fin de la ne. année.
Or dans cette derniere quantité tous les termes
qui sont multipliés par b, forment une progression
géométrique, dont est le premier terme,
le second, & 1 le dernier. D’où il s’ensuit
(Voyez Progression) que la somme de cette
progression est divisé par
, c’est-à-dire
divisé par .
Ainsi par cette équation générale
,
ou ,
on peut trouver,
1°. La somme a qu’il faut prêter pour recevoir
la somme b chaque année, pendant un nombre d’années
n, les intérêts étant comptés sur le pié du denier
; c’est-à-dire, qu’on trouvera a, en supposant
que b, n, , soient données.
2°. On trouvera de même b, en supposant que
a, n, 1/m, sont données.
3°. Si a, b, n, sont données, on peut trouver
; mais le calcul est plus difficile, parce que dans
les deux cas précédens l’équation n’étoit que du premier
degré, au lieu que dans celui-ci l’équation qu’il