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les deux sommes devroient toujours être égales : ce qui n’est pas pourtant. Mais on doit faire attention que, quand la somme de deux chiffres (représentés ici par deux lettres) excéde 9, on renvoie une unité au chiffre de la gauche, ne retenant pour celui sur lequel on opere que l’excès de cette somme au-dessus de 10. Celui-ci y perd donc 10, tandis que son voisin y gagne 1 : la différence doit donc être $\scriptstyle {\overline {10+1}}$ ou 11.

Comme en faisant la somme des différentes colonnes, il peut arriver que le renvoi d’une unité au chiffre de la gauche ait lieu plusieurs fois ; s’il se fait constamment au profit des chiffres de même nom, soit pairs, soit impairs, il est visible que la différence des deux sommes ne sera plus simplement 11, mais un multiple de 11, déterminé par le nombre même des renvois.

Si les renvois se font partie au profit des chiffres pairs, partie au profit des impairs, ou ils sont en nombre égal de part & d’autre, & alors, tout se trouvant compensé, l’égalité rigoureuse se maintient entre les deux sommes : ou ils ne le sont pas, & alors le multiple de 11 qui constitue la différence est déterminé par la différence des deux nombres qui expriment celui des renvois faits au profit des chiffres de différent nom.

10. Au reste, sur l’inspection seule du nombre proposé à multiplier par 11, il est aisé de déterminer combien il y aura de renvois dans l’addition qui sert à cet effet ; & par une suite de juger quel rapport auront entr’elles dans le multiple même la somme des chiffres pairs & celle des impairs ; si elles seront égales, ou (dans le cas d’inégalité) de quel multiple de 11 elles différeront. Pour cela, appariant successivement chacun des chiffres du nombre proposé avec celui qui le précéde vers la gauche, autant de fois que la somme de deux chiffres pris de cette maniere excédera 9, autant il y aura de renvois (s’entend que, quand il y a renvoi d’une somme précédente, il faut augmenter d’une unité la somme subséquente). On verra donc au premier coup d’œil que pour 435, il n’y aura point de renvoi, & conséquemment que dans le multiple les deux sommes seront égales ; que pour 8264, il y en aura deux, qui étant l’un & l’autre au profit des chiffres de même nom (ce qu’on reconnoît encore par la disposition des chiffres) donneront pour la différence des deux sommes dans le multiple 11×2 ou 22, &c.

11. Pour démontrer la proposition inverse (voyez le n°.7.) qu’un nombre quelconque, conditionné comme il y est dit, soit représenté généralement par $\scriptstyle {\overline {a\,\cdot \,a+b}}\,\cdot \,{\overline {b+c\,\cdot \,c}}$, & qu’on y applique la méthode de soustraction exposée, n°.3 : il se résoudra en deux quantités, $\scriptstyle {\overline {a\cdot b\cdot c\cdot *}}$ & $\scriptstyle {\overline {a\cdot b\cdot c}}$, dont l’une est décuple de l’autre. Il en étoit donc la somme : mais la somme de deux semblables quantités est un multiple de 11.

Ce raisonnement paroît encore ne conclure que pour le cas d’égalité entre les deux sommes… mais si la différence est 11 ou l’un de ses multiples, en appliquant la soustraction, il y aura des emprunts à faire sur les termes excédens au profit des défaillans, plus ou moins, selon le multiple. Chaque emprunt fera perdre une unité à l’excédent, & augmentera de 10 le défaillant ; ce qui fera évanouir la différence, & ramenera les choses au cas d’égalité .... Ce défaut apparent dans la démonstration ne provient donc que de sa généralité même, & de ce qu’elle est antérieure au choix de toute méthode particuliere de calculer.

12. En tout multiplie soit de 9, soit de 11, si l’on fait séparément la somme des chiffres pairs & celle

des impairs ; c’est (pour 9) la somme totale de ces deux sommes qui est un multiple de 9 : & (pour 11) c’est leur différence, quand elles différent, qui est un multiple de 11.

Troisieme propriété. Si l’on renverse l’ordre des chiffres qui expriment un nombre quelconque, la différence & la somme du nombre direct & du nombre renversé, sont des multiples de 11 ; la différence, quand les chiffres du nombre proposé sont en nombre impair ; la somme, quand ils sont en nombre pair. Par exemple,

$\scriptstyle 826-628=198$ :	or $\scriptstyle {\frac {198}{11}}=18$
$\scriptstyle 82+28=110$ :	or $\scriptstyle {\frac {110}{11}}=10$

sans reste, parce que le nombre des chifres de 826 est impair ; 82 est pair.

La démonstration dépend des deux propositions suivantes.

14. Lemme I. La différence & la somme de deux puissances quelconques de la même racine sont des multiples de cette racine augmentée de l’unité ; la différence, quand celle des exposans des deux puissances est un nombre pair : la somme, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre impair. Pour la preuve, voyez l’article Exposant.

Lemme II. (Par chiffres correspondans il faut entendre deux chiffres pris en un nombre quelconque à égale distance du milieu chacun de son côté ; comme sont d’abord les extrèmes, puis les deux les plus voisins de ceux-ci, &c).

15. En tout nombre, la différence des exposans des deux puissances de 10 (ou plus généralement de r), qui y déterminent la valeur relative de deux chiffres correspondans quelconques, est d’un nom différent de celui du nombre total des chiffres ; c’est-à-dire paire quand celui-ci est impair, & réciproquement.

En effet, que $\scriptstyle a\cdot r^{m}$ & $\scriptstyle b\cdot r^{n}$ représentent la valeur relative des deux chiffes extrèmes a & b d’un nombre quelconque, dont le nombre total des chiffres (voyez Échelle arithmétique), sera par conséquent $\scriptstyle {\overline {m+1}}$ ; il est évident que $\scriptstyle m-n=m-0=m$ est d’un nom différent de $\scriptstyle {\overline {m+1}}$. Il n’est pas moins clair que, pour tous autres deux chiffres correspondans tirés par ordre du même nombre, $\scriptstyle {\overline {m-n}}$ sera dans le même ordre m−2, m−4, m−6, &c. suivant une progression arithmétique dont 2 est la différence : chaque terme y sera donc de même nom que le premier m, & par une suite d’un nom différent de $\scriptstyle {\overline {m-1}}$.

16. Cela posé, quand on renverse l’ordre des chiffres qui expriment un nombre quelconque, on ne fait qu’échanger la valeur relative des chiffres correspondans ; en sorte que $\scriptstyle a\cdot r^{m}$ & $\scriptstyle b\cdot r^{n}$ deviennent $\scriptstyle a\cdot r^{n}$ & $\scriptstyle b\cdot r^{m}$. Maintenant si l’on ôte cette seconde quantité de la premiere, ou si on les ajoute ensemble, on aura (toute déduction faite, & supposant a>b & m>n), la différence $\scriptstyle =a-b\times {\overline {r^{m}-r^{n}}}$ & la somme $\scriptstyle =a+b\times {\overline {r^{m}+r^{n}}}$ ; mais s’il s’agit de la différence, le 2^d facteur $\scriptstyle r^{m}-r^{n}$ (& par une suite le produit même) est (lemme I.) un multiple de r + 1 ou de 11, quand $\scriptstyle {\overline {m-n}}$ est pair ; & $\scriptstyle {\overline {m-n}}$ est pair (lemme II.) quand les chiffres du nombre proposé sont en nombre impair.

Pareillement, s’il s’agit de la somme, le 2^d facteur $\scriptstyle r^{m}+r$ est (lemme I.) multiple de r + 1 ou de 11, quand $\scriptstyle {\overline {m-n}}$ est impair ; & $\scriptstyle {\overline {m-n}}$ est impair (lemme II.), quand les chiffres du nombre pris pour exemple sont en nombre pair.

La troisieme propriété se trouve donc prouvée dans ses deux parties. Car ce qui vient d’être dit de