En effet le corps est poussé à la fois suivant la ligne droite horisontale A R, Planc. méchan. fig. 46. par la force motrice, & suivant la ligne droite verticale AC, par la force de la gravité. Par conséquent tandis que le mobile parviendroit en Q, par l’action de la force motrice, il doit arriver par l’action de la gravité en quelque point M de la ligne verticale QM ; & de même tandis qu’il parvient en q, par l’action de la force motrice, il doit arriver par l’action de la gravité en quelque point m de la ligne qm. Or le mouvement suivant AR est uniforme, donc (voyez Mouvement) les espaces QA & qA sont comme les tems employés à les parcourir ; mais les espaces QM & qm sont comme les quarrés des tems (voyez Descente), donc , c’est-à-dire , donc la trace du corps, ou la ligne AMm qu’il décrit lorsqu’il est jetté horisontalement, est une parabole. Voyez Parabole.
On croyoit il y a deux cent ans qu’un corps jetté horisontalement, par exemple, un boulet lancé par un canon, décrivoit une ligne droite tant que la force de la poudre surpasse considérablement la pesanteur du boulet, après quoi cette ligne devenoit courbe.
N. Tartaglia fut le premier qui s’apperçut de cette erreur, & qui soutint que la ligne en question étoit courbe dans toute son étendue ; mais Galilée démontra le premier que la courbe décrite par un boulet jetté horisontalement, étoit une parabole, ayant pour sommet le point où le boulet quitte le canon.
3. Si un corps pesant est jetté obliquement, soit de bas en haut, soit de haut en bas, dans un milieu sans résistance, il décrira encore une parabole. Ainsi le corps A fig. 47. étant jetté suivant AR, il décrira la parabole AMB, dont la verticale AS sera un des diametres, & le sommet de l’axe de cette parabole se trouvera au point m, qui est le point de milieu de la portion de parabole AMB, terminée par l’horisontale AB. Donc,
1°. Le parametre du diametre de la parabole A S, fig. 47. est une troisieme proportionelle à l’espace qu’un corps pesant parcourt en descendant dans un tems quelconque donné, & à la vitesse déterminée par l’espace qu’il décriroit uniformement durant ce même tems, c’est-à-dire aux lignes AP & AQ.
2°. Comme l’espace qu’un corps pesant parcourt perperdiculairement en une seconde est de 15 piés environ ; le parametre dont il s’agit est égal au quarré de l’espace que le projectile décriroit uniformement dans une seconde, en vertu de la force motrice, ce quarré étant divisé par piés.
3°. Si les vitesses de deux projectiles sont les mêmes, les espaces décrits dans le même tems en vertu de l’action de la force motrice, seront égaux ; par conséquent les paraboles qu’ils décrivent auront le même parametre.
4°. Le parametre du diametre AS étant connu, il est facile de trouver par les propriétés de la parabole, le parametre de l’axe, dont le quart est la distance du sommet de la parabole à son foyer.
5°. La vitesse du projectile étant donnée, on peut tracer sur le papier la parabole qu’il doit décrire.
6°. Enfin la ligne de projection AR touche la parabole en A.
4. Un projectile, en tems égaux, décrit des portions de parabole AM, Mm, qui répondent à des espaces horisontaux égaux AT, Tt, c’est-à-dire que dans des tems égaux il décrit dans le sens horisontal des espaces égaux.
5. La quantité ou l’amplitude AB de la courbe, c’est-à-dire la portée du jet du projectile, est au parametre du diametre AS, comme le sinus de l’angle d’élévation RAB, est à la sécante de ce même angle.
Donc, 1°. le demi-parametre est à l’amplitude AB, comme le sinus total au sinus du double de l’angle d’élévation. 2°. Le parametre de deux paraboles est le même, lorsque les projectiles qui les décrivent ont des vitesses égales. Or dans un des cas le demi-parametre est à l’amplitude, comme le sinus total est au sinus du double de l’angle d’élévation ; & dans le second cas, le demi-parametre est aussi à l’amplitude, comme le sinus total est au sinus du double de l’angle d’élévation : donc l’amplitude dans le premier cas, est à l’amplitude dans le second, comme le sinus du double du premier angle d’élévation, est au sinus du double du second angle. Ainsi la vitesse de projection demeurant la même, l’amplitude est comme le sinus du double de l’angle d’élévation.
6. La vitesse du projectile demeurant la même, l’amplitude AB est la plus grande qu’il est possible, lorsque l’angle d’élévation est de 45°. & les amplitudes répondantes aux angles d’élévation également distans de 45°. sont égales.
Cette proposition est vérifiée par l’expérience, & peut aussi se démontrer en cette sorte : puisque l’amplitude est toujours comme le sinus du double de l’angle d’élévation, il s’ensuit qu’elle doit croître à mesure que ce sinus croît, & réciproquement. Or le sinus du double de 45° est le sinus de 90°, ou le sinus total qui est le plus grand de tous ; donc l’amplitude qui répond à l’angle de 45°, doit être la plus grande de toutes. De plus, le sinus de deux angles également distans de l’angle droit, par exemple de 80 & de 100°, sont égaux ; or le sinus du double des angles également éloignés de 45°, sont des sinus d’angles également éloignés de l’angle droit ; car, soit un de ces angles, & l’autre, les doubles seront , & ; & ces angles doubles different d’un droit, chacun de la valeur de donc les amplitudes qui répondent à des angles également éloignés de 45°, doivent être égales. Enfin puisque le sinus total est au sinus du double de l’angle d’élévation, comme le demi-parametre est à l’amplitude, que le sinus total est égal au sinus du double de 45°, il s’ensuit que l’amplitude qui répond à 45° d’élévation, est égale au demi-parametre.
7. La plus grande amplitude étant donnée, si on veut déterminer l’amplitude pour un autre angle d’élévation, la vîtesse demeurant la même, il faudra dire : comme le sinus total est au sinus du double de l’angle d’élévation proposé, ainsi la plus grande amplitude est à l’amplitude qu’on cherche.
Ainsi, supposant que la plus grande amplitude ou portée horisontale d’un mortier soit de 6000 pas, on trouvera que la portée pour un angle de 30° sera de 5196 pas.
8. La vîtesse du projectile étant donnée, on propose de trouver la plus grande amplitude. Puisque la vîtesse du projectile est connue par l’espace qu’il parcoureroit uniformément dans un tems donné, par exemple dans une seconde, il ne faut que chercher le parametre de la parabole, comme nous l’avons enseigné ci-dessus ; car la moitié de ce parametre est l’amplitude qu’on demande.
Supposons, par exemple, la vîtesse du projectile telle qu’il puisse parcourir en une seconde 1000 piés ou 12000 pouces, si on divise 144000000, qui est le quarré de 12000, par 181, qui est la valeur de piés, le quotient donnera 795580 pouces, ou 66298 piés pour le parametre de la parabole ; par conséquent l’amplitude cherchée sera de 33149 piés : ainsi tout objet qui se trouvera à une distance horisontale moindre que 33149 piés pourra être frappé par le projectile.
9. La plus grande amplitude étant donnée, on propose de trouver la vîtesse du projectile, ou l’espace qu’il parcourt uniformément dans le sens horisontal,
