en progression arithmétique, il faudra excepter de la méthode générale les deux constructions qui produisent la répétition continuelle d’un même terme dans l’une des deux diagonales, & marquer seulement le cas où cette répétition n’empêcheroit pas la diagonale d’être juste.
Recommencer la seconde bande par tout autre nombre que le second ou le dernier de la premiere, ce n’est pas une regle générale ; elle est bonne pour le quarré de 7 : mais s’il s’agissoit, par exemple, du quarré de 9, & qu’on prît pour le premier nombre de la seconde bande horisontale le quatrieme de la premiere ; on verroit que ce même nombre commenceroit aussi la cinquieme & la huitieme bande, & par conséquent seroit répété trois fois dans la premiere bande verticale ; ce qui entraîneroit de semblables répétitions dans toutes les autres. Voici donc comment doit être conçue la regle générale. Il faut que le nombre que l’on choisit dans la premiere bande pour recommencer la seconde, ait un exposant de son quantieme, tel que diminué d’une unité il ne puisse diviser la racine du quarré. Si, par exemple, dans le quarré de 7 on a pris pour recommencer la seconde bande le troisieme nombre de la premiere, cette construction est bonne, parce que l’exposant du quantieme de ce nombre qui est 3 − 1, c’est-à-dire 2, ne peut diviser 7 ; de même on peut prendre le quatrieme nombre de la premiere bande, parce que 4 − 1 ou 3 ne divise point 7. C’est la même raison pour le cinquieme & sixieme nombre. Mais dans le quarré de 9, le quatrieme nombre de la premiere bande ne doit pas être pris, parce que 4 − 1 ou 3 divise 9. La raison de cette regle sera évidente, pourvu que l’on observe comment se font ou ne se font point les retours des mêmes nombres, en les prenant toujours d’une même maniere dans une suite quelconque donnée.
Il suit de là que moins la racine du quarré que l’on construit a de diviseurs, plus il y a à cet égard de manieres différentes de le construire ; & que les nombres premiers, c’est-à-dire qui n’ont aucuns diviseurs tels que 5, 7, 11, 13, &c. sont ceux dont les quarrés doivent recevoir le plus de variations à proportion de leur grandeur.
Les quarrés construits suivant cette méthode ont une propriété particuliere, & que l’on n’avoit point exigée dans ce problème. Les nombres qui composent une bande quelconque parallele à une des deux diagonales, sont ranges dans le même ordre que ceux de la diagonale à laquelle cette bande est parallele ; & comme une bande parallele à une diagonale est nécessairement plus courte qu’elle & a moins de cellules, si on lui joint la parallele correspondante qui a le nombre de cellules qui lui manque pour en avoir autant que la diagonale, on trouvera que les nombres des deux paralleles mises, pour ainsi dire, bout à bout, garderont entre eux le même ordre que ceux de la diagonale. A plus forte raison ils feront la même somme ; ce qui fait que ces quarrés sont encore magiques en ce sens-là.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 |
| 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 |
| 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 |
| 21 | 28 | 35 | 42 | 0 | 7 | 14 |
| 42 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 |
| 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 0 | 7 |
| 35 | 42 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 0 |
| 28 | 35 | 42 | 0 | 7 | 14 | 21 |
Au lieu que nous avons formé jusqu’ici les quarrés par les bandes horisontales, on pourroit en former par les verticales, & ce seroit la même chose.
Tout ceci ne regarde encore que le premier quarré primitif, dont les nombres étoient dans l’exemple proposé 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, reste le second primitif dont les nombres sont 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42. M. de la Hire opere de la même façon sur ce second quarré ; & il peut être construit, selon sa méthode, en 20160 manieres différentes, aussi-bien que le premier, puisqu’il est composé du même nombre de termes. Sa construction étant faite, & par conséquent toutes ses bandes composant la même somme, il est évident que si l’on ajoute l’un à l’autre les nombres des deux cellules correspondantes dans les deux quarrés, c’est-à-dire les deux nombres de la premiere d’un chacun, les deux de la seconde, de la troisieme, &c. & qu’on les dispose dans les 49 cellules correspondantes d’un troisieme quarré, il sera encore magique, puisque ses bandes formées par l’addition de sommes toujours égales à sommes égales seront nécessairement égales entre elles. Il s’agit seulement de savoir si par l’addition des cellules correspondantes des deux premiers quarrés, toutes les cellules du troisieme seront remplies de maniere que chacune contienne un des nombres de la progression depuis 1 jusqu’à 49, & un nombre différent de celui de toutes les autres ; ce qui est la fin & le dessein de toute l’opération.
Il faut remarquer que si dans la construction du second quarré primitif, on a observé en recommençant la seconde bande un ordre à la premiere différent de celui qu’on avoit observé dans la construction du premier quarré, si, par exemple, on a recommencé la seconde bande du premier par le troisieme terme, & que l’on recommence la seconde bande du second quarré par le quatrieme, chaque nombre du premier quarré se combinera une fois par l’addition & une fois seulement avec tous les nombres du second ; & comme les nombres du premier sont ici 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, & ceux du second 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, on verra qu’en les combinant ainsi on aura tous les nombres de la progression depuis 1 jusqu’à 49, sans qu’il y en ait aucun répété ; & c’est-là le quarré parfait qu’il s’agissoit de construire.
| 1 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 |
| 24 | 32 | 40 | 48 | 7 | 8 | 16 |
| 47 | 6 | 14 | 15 | 23 | 31 | 39 |
| 21 | 22 | 31 | 38 | 46 | 5 | 13 |
| 37 | 47 | 4 | 12 | 20 | 28 | 29 |
| 11 | 19 | 27 | 35 | 36 | 46 | 3 |
| 34 | 42 | 43 | 2 | 10 | 18 | 26 |
La sujétion de construire différemment les deux quarrés primitifs, n’empêche nullement que chacune des 20160 constructions de l’un ne puisse être combinée avec toutes les 20160 constructions de l’autre, & par conséquent 20160 multiplié par lui-même, c’est-à-dire 406425600, est le nombre de toutes les constructions différentes que peut avoir le quarré parfait, qui est ici celui des 49 premiers nombres de la progression naturelle.
Quant aux quarrés pairs, M. de la Hire les construit ainsi que les impairs par deux quarrés primitifs ; mais la construction des primitifs est différente en général, & peut l’être même en plusieurs manieres ; & ces différences générales reçoivent plusieurs variations particulieres, qui donnent autant de constructions différentes pour un même quarré pair. Il paroît à peine
