Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 15.djvu/884

tangente d’un cercle, c’est-à-dire d’une ligne droite qui touche un cercle sans le couper, interceptée entre deux lignes droites tirées du centre C par les extrémités de l’arc EA. La ligne FE est la tangente de l’angle ACE, comme aussi de l’angle ACI ; de sorte que deux angles adjacens n’ont qu’une même tangente commune.

Co-tangente ou tangente du complément, c’est la tangente d’un arc qui est le complément d’un autre arc à un quart de cercle. Voyez Complément.

Ainsi la tangente de l’arc AH seroit la co-tangente de l’arc AE, ou la tangente du complément de l’arc AE.

Trouver la longueur de la tangente d’un arc quelconque, le sinus de l’arc étant donné. Supposons l’arc AE, le sinus donné AD, & la tangente cherchée EF. Puisque le sinus & la tangente sont perpendiculaires au rayon EC, ces lignes sont paralleles entre elles : ainsi le co-sinus DC est au sinus AD comme le sinus total est à la tangente E F. Voyez Sinus.

C’est pourquoi ayant une table des sinus, on construit facilement une table des tangentes.

Les tangentes artificielles sont les logarithmes des tangentes des arcs. Voyez Logarithme.

La ligne des tangentes est une ligne que l’on met ordinairement sur le compas de proportion. Voyez-en la description & l’usage à l’article Compas de proportion.

Tangente d’une section conique, comme d’une parabole, c’est une ligne droite qui ne touche ou qui ne rencontre la courbe qu’en un point, sans la couper ou sans entrer dedans. Voyez Conique, Courbe, &c.

En général, tangente d’une ligne courbe est une ligne droite qui étant prolongée de part & d’autre du point où elle rencontre cette courbe, est telle que les deux parties à droite & à gauche de cette ligne, tombent hors de la courbe, & qu’on ne puisse mener par ce même point aucune ligne droite qui soit entre la courbe & la tangente, & dont les deux parties soient situées hors de la courbe.

Méthode des tangentes. C’est une méthode de déterminer la grandeur & la position de la tangente d’une courbe quelconque algébrique, en supposant que l’on ait l’équation qui exprime la nature de cette courbe.

Cette méthode renferme un des plus grands usages du calcul différentiel. Voyez Différentiel.

Comme elle est d’un très-grand secours en Géométrie, elle semble mériter que nous nous y arrêtions ici particulierement. Voyez Soutangente.

Trouver la soutangente d’une courbe quelconque algébrique. Soit la demi-ordonnée pm infiniment proche d’une autre ordonnée PM (Pl. anal. fig. 13.), Pp sera la différentielle de l’abscisse ; & abaissant la perpendiculaire $\scriptstyle mR=Pp$, Rm sera la différentielle de la demi-ordonnée. C’est pourquoi tirant la tangente TM, l’arc infiniment petit Mm ne différera pas d’une ligne droite. Ainsi MmR sera un triangle rectangle rectiligne appellé ordinairement le triangle différentiel ou caractéristique de la courbe ; à cause que les lignes courbes sont distinguées les unes des autres par le rapport variable des côtés de ce triangle.

Or à cause du parallélisme des lignes droites mR & TP l’angle $\scriptstyle MmR=MTP$ ; ainsi le triangle MmR est semblable au triangle TMP. Soit donc $\scriptstyle AP=x$, $\scriptstyle PM=y$, on aura$\scriptstyle Pp=mR=dx$, & RM = dy. Par conséquent

$\scriptstyle RM\cdot mR{\text{ :: }}PM.PT$

$\scriptstyle dy\cdot dx{\text{ :: }}y\cdot {\frac {ydx}{dy}}$

Présentement si on substitue, dans l’expression générale $\scriptstyle {\frac {ydx}{dy}}$ de la sous-tangente P T, la valeur de dx prise de l’équation donnée d’une courbe quelcon-

que, les quantités différentielles s’évanouiront, &

la valeur de la sous-tangente sera exprimée en quantités ordinaires ; d’où l’on déduit aisément la détermination de la tangente ; ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

1°. L’équation qui exprime la nature de la parabole ordinaire est

	$\scriptstyle ax=y^{2}$.
d’où l’on tire	$\scriptstyle adx=2ydy$.
&	$\scriptstyle adx=2ydx$

donc $\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2y^{2}dy}{ady}}={\frac {2y^{2}}{a}}={\frac {2ax}{a}}=2x$. C’est-à-dire que la sous-tangente est double de l’abscisse.

2°. L’équation du cercle est

	$\scriptstyle ax-xx=yy$
donc	$\scriptstyle adx-2xdx=2ydy$
&	$\scriptstyle dx={\frac {2ydy}{a-2x}}$
donc	$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2y^{2}dy}{{\overline {a-2x}}\times dy}}={\frac {2y^{2}}{a-2x}}={\frac {2ax-2xx}{ax-xx}}={\frac {ax-xx}{{\frac {a}{2}}-x^{2}}}$

3°. L’équation d’une ellipse est

$\scriptstyle ay^{2}=abx-bx^{2}$

ainsi $\scriptstyle 2aydy=adbx-2bxdx\cdot {\frac {2aydy}{ab-2bx}}=dx$

$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {2ay^{2}}{ab-2bx}}={\frac {2abx-2bx^{2}}{ab-2bx}}={\frac {2ax-2x^{2}}{a-2x}}$

Soit $\scriptstyle ay^{m}+bx^{n}+cy^{r}x^{s}+e=0,$ qui est l’équation pour un grand nombre de courbes algébriques,

$\scriptstyle may^{m-1}dy+nbx^{n-1}dx+scy^{r}x^{s-1}dx++rcy^{r-1}x^{s}dy=0$

$\scriptstyle nbx^{n-1}dx+scy^{r}x^{s-1}dx=-may^{m-1}dy--rcy^{r-1}x^{s}dy$

$\scriptstyle dx=-{\frac {may^{m-1}dy-rcy^{r-1}x^{s}dy}{nbx^{n-1}+scy^{r}x^{s-1}}}$

$\scriptstyle PT={\frac {ydx}{dy}}={\frac {-may^{m}-rcy^{r}x^{s-1}}{nbx^{n-1}scy^{r}x^{s-1}}}$

Supposons, par exemple $\scriptstyle y^{2}-ax=0$ ; alors, en comparant avec la formule générale, on a

$\scriptstyle ay^{m}=y^{2}$	$\scriptstyle bx^{n}=-ax$
$\scriptstyle a=1.m=2$	$\scriptstyle b=-a.n=1$
$\scriptstyle cy^{r}x^{s}=0$	$\scriptstyle e=0$
$\scriptstyle c=0\cdot r=0\cdot s=0$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous-tangente, on a la sous-tangente de la parabole du premier genre = 2 y² : a. Supposant $\scriptstyle y^{3}-x^{3}+axy=0$, alors on aura

$\scriptstyle ay^{m}=y^{3}$ ; $\scriptstyle bx^{n}=-x^{3}$ ; $\scriptstyle a=1$ ; $\scriptstyle m=3$ ; $\scriptstyle b=1$ ; $\scriptstyle n=3$.

$\scriptstyle cy^{r}x^{s}=-axy$ ; $\scriptstyle e=0$

$\scriptstyle c=-a^{r}=1$ ; $\scriptstyle s=1$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous-tangente, on a la sous-tangente de la courbe dont l’équation est donnée, $\scriptstyle PT=(-3y^{3}+ayx):(-3x^{2}-ay)=(3y^{3}-axy):(3x^{2}+ay)$ ; par conséquent $\scriptstyle AT=(3y^{3}-axy):(3x^{2}+ay)-x=$ $\scriptstyle (3y^{3}-axy-3x^{3}-axy):(3x^{2}+ay)=(3axy-2axy):3x^{2}+ay$ ; la valeur de $\scriptstyle y^{3}-x^{3}$, c’est-à-dire $\scriptstyle axy:(3x^{2}+ay)$ étant substituée après l’avoir prise de l’équation de la courbe.

Quand l’expression de la sous-tangente est négative, c’est une marque que cette sous-tangente tombe du côté opposé à l’origine A des x, comme dans la fig. 13. Au contraire, quand la sous-tangente est positive, elle tombe du côté de A, comme dans les fig. 12. 14. n°. 1. & 14. n°. 2.

Quand la sous-tangente est infinie, alors la tangente est parallele à l’axe des x, comme dans les fig. 15. 16. 17.