ques, les côtés sont proportionels aux sinus des angles opposés.
16°. Dans tous les triangles plans, la somme des deux côtés est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles opposés est à la tangente de la moitié de leur différence.
17°. Si l’on fait tomber une perpendiculaire sur la base d’un triangle obliquangle, la différence des quarrés des côtés est égale au double du rectangle sous la base & la distance qu’il y a de la perpendiculaire au milieu de la base.
18°. Les côtés d’un triangle sont coupés proportionnellement, par une ligne qu’on tire parallélement à la base.
19°. Un triangle entier est à un triangle coupé par une ligne droite, comme le rectangle sous les côtés coupés est au rectangle des deux autres côtés.
20°. Dans un triangle rectiligne une ligne de l’angle droit perpendiculairement sur l’hypothenuse, divise le triangle en deux autres triangles rectilignes, lesquels sont semblables au premier triangle, & l’un à l’autre.
21°. En tout triangle rectangle le quarré de l’hypothenuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés. Voyez Hypothenuse.
22°. Si quelqu’angle d’un triangle est coupé en deux parties égales, la ligne qui le coupe divisera le côté opposé proportionellement aux côtés qui forment cet angle. Voyez Bissection.
23°. Si l’angle du sommet de quelque triangle est coupé en deux parties égales, la différence des rectangles faits par les côtés & par les segmens de la base, est égale au quarré de la ligne qui coupe l’angle en deux.
24°. Si une ligne droite BE (fig. 78.) coupe en deux un angle ABC d’un triangle, le quarré de ladite ligne . Newton, arith. univers.
Pour diviser un triangle dans un certain nombre donné de parties égales, divisez la base CD (fig. 77.) en autant de parties égales qu’il s’agit de diviser la figure, & tirez les lignes A 1, A 2, &c.
Sur les propriétés des triangles sphériques. Voyez Sphérique.
Triangle, en terme de Trigonométrie. La solution ou analyse des triangles est du ressort de la trigonométrie. Voyez les figures de Trigonométrie.
Les différens cas peuvent être réduits aux problèmes suivans.
Solution des triangles plans. 1°. Deux angles A & C (tabl. trigon. fig. 26.) étant donnés conjointement avec le côté AB, opposé à l’un de ces deux angles C ; pour trouver le côté BC, opposé à l’autre angle A, en voici la regle : le sinus de l’angle C est au côté donné AB, qui lui est opposé, comme le sinus de l’autre angle A est au côté que l’on cherche.
C’est pourquoi le côté BC se trouve aisément par les logarithmes ou par la regle de trois ou de proportion. Voyez Logarithme.
Car par exemple, supposez C = 48d. 35′. A = 57d. 28′. AB = 74′. l’opération se fait de cette maniere.
| Log. du sinus de C, | 9. 8750142 |
| Log. de AB, | 1. 8692317 |
| Log. du sinus de A, | 9. 9258681 |
| Total du log. de AB & du sinus de A, | 11. 7950998 |
| Log. de BC, | 1. 9200856 |
Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 83, qui est la quantité du côté que l’on cherchoit.
2°. Deux côtés AB & BC, ayant été donnés conjointement avec l’angle C, opposé à l’un des deux, pour trouver les autres angles A & B, voici la re-
opposé à ce côté, comme l’autre côté BC est au sinus de l’angle opposé que l’on cherche.
| Par exemple, | ||
| Supposez | AB = 94′, BC = 69′, C = 72d. 15′. | |
| Log. de AB, | 1. 9731279 | |
| Log. du sinus de C, | 9. 9788175 | |
| Log. de BC, | 1. 8388491 | |
| Somme des logarith. du sinus de C & de BD, | 11. 8176666 | |
| Log. du sinus de A, | 9. 9444387 | |
Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 61d. 37′. & comme l’angle donné C est de 72°. 15′. la somme des deux autres 133°. 52′. étant soustraite de 180, total des trois, vous aurez 46°. 8. pour l’autre angle B que vous cherchiez.
De même supposez que dans un triangle rectangle (fig. 28.) outre l’angle droit A on ait donné l’hypothenuse BC = 49, & la cathete AC = 36 pour trouver l’angle B, voici comme on opere.
| Log. de BC, | 1. 6901961 |
| Log. de tout le sinus, | 10. 0000000 |
| Log. de AC, | 1. 5563025 |
| Log. du sinus de B | 9. 8661064 |
Le nombre qui répond à cela dans la table des logarithmes est 47°. 16. par conséquent C = 42°. 44′.
3°. Deux côtés BA & AC, & l’angle A compris entre ces côtés étant donnés, pour trouver les deux autres angles.
I. Si le triangle ABC est rectangle, prenez un des côtés, qui forment l’angle droit, comme AB, pour rayon, pour lors CA sera la tangente de l’angle opposé B, en ce cas la regle est qu’un côté AB est à l’autre AC, comme le sinus total est à la tangente de l’angle B.
| Par exemple, | |
| Supposé BA = 79 & AC = 54 | |
| Logarithme de BA, | 18976291 |
| Log. de AC, | 17323938 |
| Log. du sinus total, | 100000000 |
| Log. de la tang. de B, | 9. 8347667 |
Le nombre qui répond à cela, dans la table des logarithmes, est 34°. 21′. par conséquent l’angle C est de 55°. 39′.
II. Si l’angle A est oblique (fig. 26.), il faut faire cette proportion, la somme des côtés donnés AB & AC est à leur différence, comme la tangente de la moitié de la somme des angles cherchés C & B est à la tangente de la moitié de leur différence : c’est pourquoi en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme, ce total donnera le plus grand angle C, & en ôtant la moitié de la différence de la moitié de la somme, le restant sera le plus petit angle B.
| Par exemple, | |||
| Supposez | . | . | alors |
| AB 75 | . | ||
| AC 58 | AC 58 | A 108 24 | |
| Somme 133. diff. 17 | B + C 71 36 | ||
| (B + C) 35 48 | |||
| Log. de AB + AC | 2.1238516 | ||
| Log. de AB-AC | 1. 2304489 | ||
| Log. de la tang. (B + C) | 9. 8580694 | ||
| Somme des log. | 12. 0885183 | ||
| Log. de la tang. (C-B) 8. 6946667 le nombre qui répond à cela est 5°. 16′. | |||
| (B + C) = 35°. 48′. | (B + C) = 35°. 48′. | ||
| (C-B) = 5°. 16′. | (C-B) = 5°. 16′. | ||
| C = 41, 4 | B = 30, 32 | ||
