4°. Les 3 côtés AB, CD, & CA, fig. 28. étant donnés, pour trouver les angles A, B, & C, du sommet de l’angle A avec l’étendue du plus petit côté AB, décrivez un cercle : alors CD sera AC & AB ; & CF sera leur différence. La regle est donc que la base BC, est la somme des côtés CD, comme la différence des côtés CF est au segment de la base CG.
Ce segment ainsi trouvé étant soustrait de la base CB, le restant est la corde GB. Ensuite du point A abaissez la perpendiculaire AE sur la corde BG, pour lors BE = EG = GB.
Ainsi dans un triangle rectangle AEB, les côtés AB & BE étant donnés ; ou dans un triangle obliquangle ACE, les côtés AC & CE étant donnés : les angles B & A sont trouvés.
| Par exemple, | ||
| Supposé AB = 36, AC = 45, BC = 40 | ||
| AC = 45 AC = 45 | ||
| AB = 36 AB = 36 | ||
| AC + AB | = | 81, FC = 9 |
| Log. de BC | = | 1. 6020600 |
| Log. de AC + AB | 1. 9084850 | |
| Log. de FC | = | 0. 9542425 |
| Somme des log. | = | 2. 8627275 |
| Log. de CG | = | 1. 2606675. le nombre qui y répond dans les tables est 18. |
| BC | = | 4000 EG = 1089 |
| CG | = | 1822 CG = 1822 |
| BG | = | 2178 CE = 2911 |
| BE | = | 1089 |
| Log. de AB | = | 3. 5563025 |
| Log. du sinus total | = | 10. 0000000 |
| Log. de EB | = | 3. 0370279 |
| Log. du sinus de EAB = 9. 4807254, le nombre qui y répond dans les tables est 17°. 36′. par conséquent l’angle ABE est de 72°. 14′. | ||
| Log. de AC | = | 3. 6532125 |
| Log. du sinus total | 10. 0000000 | |
| Log. de CE | = | 3. 4640422 |
| Log. du sinus total | 9. 8108297 le nombre qui y répond dans les tables, est 40°. 18′. par conséquent ACE est de 49°. 42. & CAB est de 57°. 54. | |
Solution des triangles rectangles sphériques par les regles communes. I. Dans un triangle rectangle sphérique deux parties quelconques étant données, outre l’angle droit, pour trouver le reste,
1°. il faut considérer si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes. Si les parties disjointes sont opposées l’une à l’autre, comme si l’hypothenuse BC & l’angle C, fig. 29. sont donnés ; pour trouver le côté opposé AB, voici quelle est la regle ; le sinus total est au sinus de l’hypothénuse BC, comme le sinus de l’angle C est au sinus du côté opposé AB.
2°. Si les parties disjointes ne sont point opposées l’une à l’autre, comme si AB & l’angle adjacent B sont donnés ; pour avoir l’angle opposé C, les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu’à ce qu’ils fassent des quarts de cercle, afin que par ce moyen vous ayez un nouveau triangle, dans lequel les parties dont il est question soient opposées mutuellement les unes aux autres ; comme dans le cas présent le triangle EBF, où nous avons le côté BF donné, qui est le complément du côté AB, & l’angle B pour EF, complément de l’angle C : voici donc la regles qu’il faut suivre. Le sinus total est au sinus de BF, comme le sinus de l’angle B est au sinus EF, ou co-sinus de C.
3°. Si l’hypothénuse ne se trouve point parmi les parties conjointes, comme lorsque les côtés AB & AC sont donnés, pour avoir un angle opposé à l’un des deux ; il faut dire le sinus de AC est au sinus to-
de C.
4°. Mais si l’hypothénuse se trouve parmi les parties conjointes, comme si l’hypothénuse BC & l’angle C sont donnés, pour trouver le côté adjacent AC ; les côtés du triangle doivent être continués du même côté, jusqu’à ce qu’ils fassent des quarts de cercle, afin que l’on ait un nouveau triangle, dans lequel l’hypothénuse ne se trouve point parmi les parties dont il est question ; par exemple, dans le cas présent EBF dans lequel sont donnés le complément EB de l’hypothénuse BC, le complément de l’angle C, & l’angle F complément du côté AC. Puis donc que dans le triangle E F B, l’hypothénuse n’entre pas dans la question, la regie est la même que ci-dessus : c’est-à-dire, que le sinus de EF ou co-sinus de C, est au sinus total, comme la tangente de EB, ou co-tangente de BC est la tangente de F ou co-tangente de AC.
5°. Quand les côtés d’un triangle doivent être continués, il n’importe de quel côté que ce soit, pourvu qu’il ne soit pas question d’un angle aigu, autrement les côtés doivent être continués par l’autre angle oblique : si les deux côtés sont dans la connexion, ils doivent être continués par l’angle adjacent au côté en question.
C’est ainsi qu’on peut toujours former un triangle, où l’on trouve par la regle des sinus ou des tangentes les parties que l’on cherche.
Solution des triangles rectangles sphériques par une regle universelle. Considérez, comme ci-dessus, si les parties dont il est question sont conjointes ou disjointes.
Si l’un des deux côtés, qui forment l’angle droit, ou même si ces deux côtés entrent dans la question, en leur place, il faut mettre parmi les données leur complément à un quart de cercle : alors, puisque, suivant la regle universelle, si connue dans cette Trigonométrie, le sinus total avec le sinus du complément de la partie moyenne, est égal aux sinus des parties disjointes, & aux co-tangentes des parties conjointes ; ôtez du total de ces choses données, la troisieme partie donnée, le reste sera quelque sinus ou tangente, & le côté ou l’angle qui y répond dans la table des logarithmes, est le côté ou l’angle que vous cherchez.
Comme la regle universelle ou générale est d’un grand secours dans la Trigonométrie, nous en ferons l’application à différens cas, & nous en apporterons des exemples qui dans les cas des parties conjointes & disjointes répandront aussi de la lumiere sur la méthode commune : mais dans les cas des parties contiguës, il faudra avoir recours à d’autres solutions.
1°. L’hypothénuse BC = 60d, & l’angle C = 23d. 30′. étant donnés ; trouver le côté opposé AB, fig. 22. puisque AB est la partie moyenne, C & BC sont parties disjointes, voyez Parties ; le sinus total, avec le co-sinus du complément AB, c’est-à-dire, avec le sinus même de AB, est égal aux sinus de C, & BC.
| C’est pourquoi si du sinus de C | 96006997 |
| & du sinus de BC | 99375306 |
| Somme | 195382303 |
| Vous ôtez le sinus total | 100000000 |
| Reste le sinus de AB | 95382303 |
Le nombre qui y répond dans la table est 20d. 12′. 6″.
2°. L’hypothénuse BC = 60d. & la jambe A = 20d. 12′. 6″. étant données, trouver l’angle opposé C.
Il paroît par le problème précédent que de la somme du sinus total, & du sinus du côté AB, il faut
