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Le nombre qui y répond dans les tables est 82^d. 34′ 7″.

2°. Deux angles C = 82^d. 34′ 7″ & A = 43^d. 20′ avec le côté AB = 60^d. 45′ opposé à l’un d’eux C étant donnés, trouver le côté BC opposé à l’autre angle A.

Il faut dire : le sinus de l’angle C est au sinus du côté opposé B, comme le sinus de l’angle A est au sinus du côté opposé BC. L’exemple précédent suffit pour l’intelligence de celui-ci.

3°. Deux côtés AB = 66^d. 45 m. & BC = 39^d. 29′ avec un angle opposé à l’un des deux A = 45^d. 20′ étant donnés ; trouver l’angle B compris entre ces côtés ; supposez que l’angle C est aigu ; puisque l’autre angle A est pareillement aigu, la perpendiculaire BE tombe dans le triangle ; c’est pourquoi dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle A, & du côté AB donnés, on trouve l’angle ABE. Puisque BE sert comme de partie latérale dans le triangle AEB, l’angle EBC est une partie moyenne, & le côté BC est une partie conjointe.

Ce co-sinus de l’angle EBC se trouvera en ôtant la co-tangente de AB de la somme du co-sinus de l’angle ABE, & de la co-tangente de BC. Ainsi, en joignant ensemble les angles ABE & EBC, ou si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, vous trouverez l’angle en question.

Par exemple, sinus total	100000000
Par Co-sinus de AB	95963154
Par exempleSomme	195963154
Par Co-tangente de A	100252805
Par Co-tangente de ABE	95710349

Le nombre qui y répond dans les tables est 20^d. 25′ 35″ par conséquent AB est de 69^d. 34′ 25″.

Par Co-sinus de ABE	95428300
Par Co-tangente de BC	100141529
Par exemple Somme	196269829
Par Co-tangente de AB	96330085
Par Co-sinus de EBC	99938544

Le nombre qui y répond dans les tables est 80^d. 24′ 26″ par conséquent ABC est de 79^d. 9′ 57″.

4°. Deux angles A = 43^d. 20′& B = 79^d. 9′ 59″ avec le côté adjacent AB = 66^d. 45′ étant donnés, trouver le côté B opposé à l’un des deux angles.

De l’un des angles donnés B, abaissez une perpendiculaire EB sur le côté inconnu AC ; &, dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle donné A & de l’hypoténuse AB, cherchez l’angle ABE ; lequel étant ôté de l’angle ABC, il reste l’angle EBC. Mais si la perpendiculaire tomboit au-dehors du triangle, en ce cas, il faudroit soustraire l’angle ABC de l’angle ABE ; parce que la perpendiculaire BE étant prise pour une des parties latérales, la partie moyenne dans le triangle A B E est l’angle B, & la partie conjointe est AB ; dans le triangle E B C, la partie moyenne est l’angle B, & la partie conjointe BC ; la co-tangente du côté BC se trouve en ôtant le cosinus de EBA de la somme de co-tangente de AB & du co-sinus de EBC. L’exemple du cas précédent s’applique aisément à celui-ci.

5°. Deux côtés AB = 66^d. 45′& BC = 39^d. 29′ avec l’angle A opposé à l’un ou à l’autre = 43^d. 20′étant donnés, trouver le troisieme côté AC, abaissant, comme ci-dessus, la perpendiculaire BE, dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle donné, & de l’hypothénuse AB, vous trouverez le côté AE ; puisqu’en prenant B

E pour une partie latérale dans le triangle AEB, AB est la partie moyenne, & AE la partie disjointe, & que dans le triangle BEC, BC est la partie moyenne, & EC la partie disjointe ; le cosinus de EC se trouve en ôtant le co-sinus de AB de la somme des co-sinus de AE & CB, de sorte qu’en joignant ensemble les segmens AE & EC, ou en cas que la perpendiculaire tombe hors le triangle en les ôtant l’un de l’autre, on trouvera le côté AC.

6°. Deux côtés AC = 65^d. 30′ 46″ & AB = 66^d. 45′ avec l’angle A = 43^d. 20′ compris entre ces côtés, étant donnés, trouver le troisieme côté BC opposé à cet angle.

Abaissez la perpendiculaire BE, cherchez dans le triangle rectangle le segment AE, lequel étant ôté de AC, il vous reste EC. Si la perpendiculaire tombe au-dehors du triangle, il faut ôter AC de AE.

Puisqu’en prenant la perpendiculaire BE pour une partie latérale dans le triangle AEB, AB devient la partie moyenne, & AE la partie disjointe : & que dans le triangle E B C, C B est la partie moyenne, & EC la partie disjointe ; le co-sinus de BC se trouve en ôtant le co-sinus de AE, de la somme des co-sinus de AB & EC.

7°. Deux angles A = 43^d. 20′& B = 79^d. 9′ 59″ avec le côté CB = 39^d. 29′ opposé à l’un ou l’autre de ces angles, étant donnés, trouver le côté AB adjacent à l’un & l’autre.

Abbaissez la perpendiculaire CD de l’angle inconnu C sur le côté opposé AB, & si cette perpendiculaire tombe dans le triangle, par le moyen de l’angle donné B, & de l’hypothénuse BC, cherchez dans le triangle rectangle BCD, le segment BD. Puisqu’en prenant la perpendiculaire CD pour une partie latérale dans le triangle C D B, D B est la partie moyenne, & l’angle B une partie conjointe ; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l’angle A une partie conjointe ; le sinus du segment AD se trouve en ôtant la co-tangente de l’angle B de la somme du sinus de DB & de la co-tangente de l’angle A ; de sorte qu’en joinant ensemble les segmens AD & DB, ou, si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, le résultat sera du côté AB que vous cherchiez.

8°. Deux côtés AB = 66^d. 45′. & BC = 39^d. 29′. avec l’angle compris entre ces côtés = 79^d. 9′. 59″. étant donnés, trouver l’angle A opposé à l’un ou à l’autre de ces côtés.

En abaissant la perpendiculaire CD, vous trouverez le segment BD, comme dans le problème précédent : ôtez ce segment de AB, reste AD. Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, AB doit être joint à DB : & comme en prenant la perpendiculaire CD pour une partie latérale dans le triangle CDB, BD est la partie moyenne, & l’angle B la partie conjointe ; & que dans le triangle CDA, AD est la partie moyenne, & l’angle A la partie conjointe ; la co-tangente de l’angle A se trouve en ôtant le sinus de DB de la somme de la co-tangente de l’angle B & du sinus AD.

9°. Deux angles A = 43^d. 20′. & B = 79^d. 9′. 59″. avec le côté adjacent AB = 76^d. 45′. étant donnés, trouver l’angle C opposé à ce côté.

De l’un des angles donnés B abaisser la perpendiculaire BE, sur le côté opposé AC : dans le triangle rectangle ABE, par le moyen de l’angle A donné, & de l’hypothenuse AB, vous trouverez l’angle ABE, lequel étant ôté de ABC, reste l’angle EBC.

Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, il faut ôter ABC de ABE. Puisqu’en prenant BE pour une partie latérale dans le triangle C E B, l’angle C est la partie moyenne, & l’angle CBE, la partie dis-