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De plus, puisque A : B :: B C : A C, on en peut conclurre que A + B : A :: B C + A C : B C ; ce qui fait voir que pour trouver le centre commun de gravité C de deux corps, il n’y aura qu’à prendre le produit de l’un de ces poids par la distance AB des centres particuliers de gravité AB, & le diviser par la somme des poids A & B. Supposons, par exemple, A = 12, B = 4, AB = 24, on aura donc $\scriptstyle BC={\frac {24\times 12}{16}}=18$ : si le poids A est donné, ainsi que la distance AB des centres particuliers de gravité, & le centre commun de gravité C, on aura le poids de $\scriptstyle B={\frac {A\times AC}{BC}}$, c’est-à-dire, qu’on le trouvera, en divisant le moment du poids donné par la distance du poids qu’on cherche, au centre commun de gravité : supposant A = 12, BC = 18, AB = 6, & on aura $\scriptstyle B={\frac {6\times 12}{18}}={\frac {12}{3}}=4$

2°. Pour déterminer le centre commun de gravité de plusieurs corps donnés a, b, c, d, (fig. 13. n°. 3.) trouvez dans la ligne AB le centre commun de gravité des deux premiers corps a & b que je supposerai en P ; concevez ensuite un poids a + b appliqué en P, & trouvez dans la ligne PE, le centre commun de gravité des deux poids a + b, & c que je supposerai en G ; enfin supposez un poids a + b + c appliqué en G, égal aux deux poids a + b & c, & trouvez le centre commun de gravité de ce poids a + b + c & de d, lequel je supposerai en H, & ce point H sera le centre commun de gravité de tout le système des corps a + b + c + d ; & on peut trouver de la même maniere le centre de gravité d’un plus grand nombre de corps tel qu’on voudra.

3°. Deux poids D & E (fig. 14.) étant suspendus par une ligne CO qui ne passe point par leur centre commun de gravité, trouver lequel des deux corps doit emporter l’autre.

Il faudra pour cela multiplier chaque poids par sa distance du centre de suspension, celui du côté duquel se trouvera le plus grand produit, sera le prépondérant ; & la différence entre les deux sera la quantité dont il l’emportera sur l’autre.

Les momens des poids D & E, suspendus par une ligne qui ne passe point par le centre de gravité, étant en raison composée des poids D & E, & des distances du point de suspension, il s’ensuit encore que le moment d’un poids suspendu précisément au point C, n’aura aucun effet par rapport aux autres poids D & E.

4°. Soient plusieurs corps a, b, c, d, (fig. 15.) suspendus en C par une droite C O qui ne passe point par leur centre de gravité, on propose de déterminer de quel côté sera la prépondérance, & quelle en sera la quantité.

On multipliera pour cela les poids c & d par leur distance CE & CB du point de suspension, & la somme sera le moment de leur poids ou leur moment vers la droite : on multipliera ensuite leur poids a & b par leurs distances AC & CD, & la somme sera le moment vers la gauche ; on soustraira l’un de ces momens de l’autre, & le reste donnera la prépondérance cherchée.

5°. Un nombre quelconque de poids a, b, c, d, étant suspendus en C par une ligne CO qui ne passe point par leur centre commun de gravité, & la prépondérance étant vers la droite, déterminer un point F, où la somme de tous les poids étant suspendue, la prépondérance continueroit à être la même que dans la premiere situation.

Trouvez le moment des poids c & d, c’est-à-dire $\scriptstyle c\times CE$ & $\scriptstyle d\times CB$ ; & puisque le moment des poids suspendus en F doit être précisément le même, le moment trouvé des poids c & d sera donc le produit de CF par la somme des poids ; & ainsi ce moment étant divisé par la somme des poids, le quotient donnera la distance CF, à laquelle la somme des poids doit être suspendue, pour que la prépondérance continue à être la même qu’auparavant.

6°. Trouver le centre de gravité d’un parallélogramme & d’un parallelépipede.

Tirez la diagonale AD & EG (fig. 16.), ainsi que CB & HF ; & puisque chacune des diagonales AD & CB divisent le parallélogramme ACDB en deux parties égales & semblables, chacune d’elles passe donc par le centre de gravité : donc le point d’intersection I est le centre de gravité du parallélogramme.

De même puisque les plans CBFH & ADGE divisent le parallelépipede en deux parties égales & semblables, ils passent l’un & l’autre par son centre de gravité ; & ainsi leur intersection IK est le diametre de gravité, & le milieu en est le centre.

On pourra trouver de la même maniere le centre de gravité dans les prismes & les cylindres, en prenant le milieu de la droite qui joint leurs bases opposées.

Dans les polygones réguliers, le centre de gravité est le même que celui du cercle circonscrit ou inscrit à ces polygones.

7°. Trouver le centre de gravité d’un cone & d’une pyramide. Le centre de gravité d’un cone est dans son axe AC (fig. 17.) ; si l’on fait donc A C = a, C D = r, p la circonférence dont le rayon est r, A P = x, P p = d x, le poids de l’élément du cone sera $\scriptstyle {\frac {prx^{2}dx}{2a^{2}}}$ & son moment sera $\scriptstyle {\frac {prx^{3}dx}{2a^{2}}}$ ; & par conséquent l’intégrale des momens $\scriptstyle {\frac {prx^{4}dx}{8a^{2}}}$, laquelle divisée par l’intégrale des poids $\scriptstyle {\frac {prx^{3}}{6a^{2}}}$, donne la distance du centre de gravité de la portion AMN au sommet A, = $\scriptstyle {\frac {6a^{2}prx^{4}}{8a^{2}prx^{3}}}={\frac {3}{4}}x={\frac {3}{4}}AP$ ; d’où il s’ensuit que le centre de gravité du cone entier est éloigné du sommet des $\scriptstyle {\frac {3}{4}}$ de AC ; & on trouve de la même maniere la distance du centre de gravité de la pyramide au sommet de cette pyramide = $\scriptstyle 34AC$.

8°. Déterminer le centre de gravité d’un triangle B A C (figure 18.). Tirez la droite AD au point milieu D de BC ; & puisque le triangle BAD est égal au triangle BAC, on pourra donc diviser chacun de ces triangles en un même nombre de petits poids, appliqués de la même maniere à l’axe commun AD, de façon que le centre de gravité du triangle BAC sera situé dans AD. Pour déterminer le point précis, soit A D = a, B C = b ; A P = x, M N = y, & on aura Ap : MN :: AB : BC, ce qui donnera $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}$ ; d’où il s’ensuit que le moment $\scriptstyle yxdx={\frac {bx^{2}dx}{a}}$ & $\scriptstyle \int yxdx={\frac {bx^{3}}{3a}}$, intégrale qui étant divisée par l’aire AMN du triangle, c’est-à-dire, par $\scriptstyle {\frac {bx^{2}}{2a}}$ donne la distance du centre de gravité au sommet $\scriptstyle ={\frac {2abx^{3}}{3a^{2}x^{2}}}={\frac {2}{3}}x$ ; & ainsi substituant a pour x, la distance du centre total de gravité au sommet sera $\scriptstyle ={\frac {2}{3}}a$.

9°. Trouver le centre de gravité de la portion de parabole S A H (fig. 19.) : sa distance du sommet A se trouve être $\scriptstyle {\frac {3}{5}}$ AE par les méthodes précédentes.

10°. Le centre de gravité d’un arc de cercle, est éloigné du centre de cet arc, d’une droite qui est troisieme proportionelle à cet arc, à sa corde, & au rayon. La distance du centre de gravité d’un secteur de cercle au centre de ce cercle, est à la distance du centre de gravité de l’arc au même centre, comme 2 est à 3.

Pour trouver les centres de gravité des segmens des conoïdes, des paraboloïdes, des sphéroïdes, des cones tronqués, &c. comme ce sont des cas plus difficiles, & qui en même-tems ne se présentent que plus rarement, nous renvoyons là-dessus au traité de Wolf, d’où Chambers a tiré une partie de cet article.