l’hypothénuse, cette ligne se trouvera = 50 milles.
2°. Etant donnée la perpendiculaire AB d’un triangle rectangle ABC = 30, & l’angle BCA = 37d ; pour trouver l’hypothénuse BC, prenez le côté AB donné, & mettez-le de chaque côté sur le sinus de l’angle donné ACB ; alors la distance parallele du rayon, ou la distance de 90 à 90, sera l’hypothénuse BC, laquelle mesurera 50 sur la ligne des sinus.
3°. L’hypothénuse & la base étant données, trouver la perpendiculaire. Ouvrez l’instrument jusqu’à ce que les deux lignes des lignes soient à angles droits ; alors mettez la base donnée sur l’une de ces lignes depuis le centre ; prenez l’hypothénuse avec votre compas, & mettant l’une de ses pointes à l’extrémité de la base donnée, faites que l’autre pointe tombe sur la ligne des lignes de l’autre jambe ; la distance depuis le centre jusqu’au point où le compas tombe, sera la longueur de la perpendiculaire.
4°. L’hypothénuse étant donnée, & l’angle ACB, trouver la perpendiculaire. Faites que l’hypothénuse donnée soit un rayon parallele, c’est-à-dire étendez-la de 90 à 90 sur les lignes des lignes ; alors le sinus parallele de l’angle ACB, sera la longueur du côté AB.
5°. La base & la perpendiculaire AB étant données, trouver l’angle BCA. Mettez la base AC sur les deux côtés de l’instrument depuis le centre, & remarquez son étendue ; alors prenez la perpendiculaire donnée, ouvrez l’instrument à l’étendue de cette perpendiculaire placée aux extremités de la base ; le rayon parallele sera la tangente de l’angle BCA.
6°. En tout triangle rectiligne, deux côtés étant donnés avec l’angle compris entre ces côtés, trouver le troisieme côté. Supposez le côté AC = 20, le côté BC = 30, & l’angle compris ACB = 110 degrés ; ouvrez l’instrument jusqu’à ce que les deux lignes des lignes fassent un angle égal à l’angle donné, c’est-à-dire un angle de 110 degrés ; mettez les côtés donnés du triangle depuis le centre de l’instrument sur chaque ligne des lignes ; l’étendue entre leurs extrémités est la longueur du côté AB cherché.
7°. Les angles CAB & ACB étant donnés avec le côté CB, trouver la base AB. Prenez le côté CB donné, & regardez-le comme le sinus parallele de son angle opposé CAB ; & le sinus parallele de l’angle ACB sera la longueur de la base AB.
8°. Les trois angles d’un triangle étant donnés, trouver la proportion de ses côtés. Prenez les sinus latéraux de ces différens angles, & mesurez-les sur la ligne des lignes ; les nombres qui y répondront donneront la proportion des côtés.
9°. Les trois côtés étant donnés, trouver l’angle ACB. Mettez les côtés AC, CB, le long de la ligne des lignes depuis le centre, & placez le côté AB à leurs extrémités ; l’ouverture de ces lignes fait que l’instrument est ouvert de la grandeur de l’angle ACB.
10°. L’hypothénuse AC (fig. 3.) d’un triangle rectangle sphérique ABC donné, par exemple, de 43d, & l’angle CAB de 20d, trouver le côté CB, La regle est de faire cette proportion : comme le rayon est au sinus de l’hypothénuse donnée = 43d, ainsi le sinus de l’angle donné = 20d, est au sinus de la perpendiculaire C B. Prenez alors 20d avec votre compas sur la ligne des sinus depuis le centre, & mettez cette étendue de 90 à 90 sur les deux jambes de l’instrument ; le sinus parallele de 43d qui est l’hypothénuse donnée, étant mesuré depuis le centre sur la ligne des sinus, donnera 13d 30′ pour le côté cherché.
11°. La perpendiculaire BC & l’hypothénuse A
C étant données, pour trouver la base AB faites cette proportion : comme le sinus du complément de la perpendiculaire BC est au rayon, ainsi le sinus du complément de l’hypothénuse est au sinus du complément de la base. C’est pourquoi faites que le rayon soit un sinus parallele de la perpendiculaire donnée, par exemple, de 76d 30′ ; alors le sinus parallele du complément de l’hypothénuse, par exemple, de 47d, étant mesuré sur la ligne des sinus, sera trouvé de 49d 25′, qui est le complément de la base cherchée ; & par conséquent la base elle-même sera de 40d 35′.
Usages particuliers du compas de proportion en Géométrie, &c. 1°. Pour faire un polygone régulier dont l’aire doit être d’une grandeur donnée quelconque, supposons que la figure cherchée soit un pentagone dont l’aire = 125 piés ; tirez la racine quarrée de de 125 que l’on trouvera = 5 : faites un quarré dont le côté ait 5 piés, & par la ligne des polygones, ainsi qu’on l’a déjà prescrit, faites le triangle isocele CGD (Pl. Géomét. fig. 14. n. 2.), tel que CG étant le demi-diametre d’un cercle, CD puisse être le côté d’un pentagone régulier inscrit à ce cercle, & abaissez la perpendiculaire GE ; alors continuant les lignes EG, EC, faites EF égal au côté du quarré que vous avez construit, & du point F tirez la ligne droite FH parallele à GC ; alors une moyenne proportionnelle entre GE & EF, sera égale à la moitié du côté du polygone cherché ; en le doublant on aura donc le côté entier. Le côté du pentagone étant ainsi déterminé, on pourra décrire le pentagone lui-même, ainsi qu’on l’a prescrit ci-dessus.
2°. Un cercle étant donné, trouver un quarré qui lui soit égal. Divisez le diametre en 14 parties égales, en vous servant de la ligne des lignes, comme on l’a dit ; alors 12.4 de ces parties trouvées par la même ligne seront le côté du quarré cherché.
3°. Un quarré étant donné, pour trouver le diametre d’un cercle égal à ce quarre, divisez le côté du quarré en 11 parties égales par le moyen de la ligne des lignes, & continuez ce côté jusqu’à 12.4 parties ; ce sera le diametre du cercle cherché.
4°. Pour trouver le côté d’un quarré égal à une ellipse dont les diametres transverses & conjugués sont donnés, trouvez une moyenne proportionnelle entre le diametre transverse & le diametre conjugué, divisez-la en 14 parties égales ; 12 de ces parties seront le côté du quarré cherché.
5°. Pour décrire une ellipse dont les diametres ayent un rapport quelconque, & qui soit égale en surface à un quarré donné, supposons que le rapport requis du diametre transverse au diametre conjugué, soit égal au rapport de 2 à 1 ; divisez le côté du quarré donné en 11 parties égales ; alors comme 2 est 1, ainsi 11 × 14 = 154 est à un quatrieme nombre, dont le quarré est le diametre conjugué cherché : puis comme 1 est à 2, ainsi le diametre conjugué est au diametre transverse. Présentement,
6°. Pour décrire une ellipse dont les diametres transverse & conjugué sont donnés, supposons que AB & ED (Planche des coniq. fig. 21.) soient les diametres donnés : prenez AC avec votre compas, donnez à l’instrument une ouverture égale à cette ligne, c’est-à-dire ouvrez l’instrument jusqu’à ce que la distance de 90 à 90 sur les lignes des sinus, soit égale à la ligne AC : alors la ligne AC peut être divisée en ligne des sinus, en prenant avec le compas les étendues paralleles du sinus de chaque degré sur les jambes de l’instrument, & les mettant depuis le centre C. La ligne ainsi divisée en sinus (dans la figure on peut se contenter de la diviser de dix en dix), de chacun de ces sinus élevez des perpendiculaires des deux côtés, alors trouvez de la maniere suivante des points par lesquels l’ellipse doit passer ; prenez
