1°. Pour ajoûter deux ou plusieurs fractions décimales, il n’y a qu’à les poser l’une sous l’autre, les entiers sous les entiers, les dixiemes sous les dixiemes, les centiemes sous les centiemes, &c. & faire l’addition à l’ordinaire.
| 1357 | . | 7802 | |
| 1 | . | 053 | |
| . | 42687 | ||
| 15 | . | 86 | |
| 53 | . | 12007 | somme. |
Où vous voyez qu’il y a autant de décimales dans la somme qu’en contient le plus grand nombre. 42687 des fractions décimales dont on a proposé l’addition : ce qui forme une regle pour cette opération.
2°. Il faut suivre la même regle pour la soustraction ; c’est-à-dire que pour soustraire une fraction décimale d’une autre, il faut les poser de même que ci-dessus ; la petite sous la grande, & faire la soustraction à l’ordinaire, ainsi qu’on l’a exécuté dans l’opération suivante.
| 578 | . | 3020 | |
| 49 | . | 5732 | |
| 528 | . | 7288 | reste. |
3°. Pour multiplier une fraction décimale 34.632 par une autre. 5234, on multipliera d’abord les nombres qui les expriment, comme s’ils étoient des nombres entiers ; & pour savoir après quel chiffre il faut mettre le point, il faut que la fraction du produit, c’est à-dire que les décimales du produit contiennent autant de chiffres qu’il y en a dans la fraction des deux produisans, c’est-à-dire sept dans cet exemple ; ainsi on placera le point après le septieme chiffre, en commençant à compter de la droite vers la gauche.
| 34.632 | |
| 1.5234 | |
| 138528 | |
| 103896 | |
| 69264 | |
| 173160 | |
| 18.1263888 | produit. |
4°. Pour diviser une fraction décimale par une autre, on divisera les nombres qui les expriment, l’un par l’autre, comme s’ils étoient des nombres entiers. Et pour savoir après quels chiffres du quotient il faut mettre le point, on ôtera du nombre des chiffres de la fraction du dividende, celui de la fraction du diviseur. Ainsi le quotient de 18.1263888, dont la fraction contient sept chiffres, par 1.5234, dont la fraction en contient quatre, est 34.632, dont la fraction en doit contenir 3. (E)
Lorsqu’il n’y a pas de nombre entier dans une fraction décimale, on met ordinairement un zéro avant le point ; ainsi au lieu de. 5 on écrit 0.5 : ce zéro au fond est inutile ; mais on s’en sert apparemment afin que le point qui le suit soit plus remarquable, & ne forme point d’équivoque dans le discours ; souvent au lieu de point on se sert d’une virgule, ce qui revient au même.
Tout le calcul des fractions décimales est fondé sur ce principe très-simple, qu’une quantité décimale, soit fractionnaire, soit qu’elle contienne des entiers en partie, équivaut à une fraction dont le dénominateur est égal à l’unité suivie d’autant de zéros, qu’il y a de chiffres après le point ; ainsi 0.563 est =
; 0.0005 = ; ; & ainsi des autres.
Par conséquent si on veut ajoûter ensemble les quatre fractions ci-dessus, il faut supposer que ces quatre fractions sont réduites au même dénominateur commun 100000, c’est-à-dire supposer 1.053 = 1.05300, 15.86 = 15.86000, & 35.7802 = 35.78020 ; c’est ce que l’on fait du moins tacitement en écrivant les nombres comme on le voit plus haut, & la somme est censée avoir 100000 pour dénominateur. Il en est de même de la soustraction. A l’égard de la multiplication, on n’a point cette préparation à faire de réduire toutes les fractions au même dénominateur, en ajoûtant des zéros à la droite de celles qui en ont besoin. On multiphe simplement à l’ordinaire ; & il est visible que si est censé le dénominateur d’une des fractions, & l’autre ; le dénominateur du produit sera . Donc supprimant ce dénominateur, il faudra que le produit ait autant de parties décimales, c’est-à-dire de chiffres après le point, qu’il y a d’unités dans m + n. Il en sera de même de la division, avec cette différence que le dénominateur au lieu d’être sera , & que par conséquent m − n sera le nombre des chiffres qui doivent se trouver après le point dans le quotient. Voyez Fraction & Division.
Nous avons expliqué à l’article Approximation comment par le moyen des fractions décimales on approche aussi près qu’on veut de la racine d’un nombre quelconque.
Il ne nous reste plus qu’à observer qu’on ne réduit pas toûjours exactement & rigoureusement une fraction quelconque en fraction décimale, par la regle que nous avons donnée plus haut. Soit, par exemple une fraction à réduire en fraction décimale ; on aura donc . Or , & on verra à l’article Diviseur que ne sauroit être égal à un nombre entier r, à moins que q ne soit égal à quelque puissance de 2 ou de 5, ou de , ou au produit de quelque puissance de 2 par quelque puissance de 5, puissances moindres que n ; car on suppose que est une fraction réduite à la plus simple expression, c’est-à-dire que p & q n’ont aucun diviseur commun. Voyez Diviseur. Dans tout autre cas ne pourra jamais être exactement & rigoureusement égal à un nombre entier r. Mais il est visible que plus n sera grand, c’est-à-dire plus le dénominateur de la fraction aura de zéros, plus sera près d’être égal à ; car l’erreur, s’il y en a, sera toûjours moindre que , puisqu’en faisant la division de par q le quotient r qu’on trouvera, & qui sera trop petit, sera au contraire trop grand, si on l’augmente d’une unité. Donc & . Donc, &c.
Ainsi la réduction des fractions en décimales est toûjours utile ; puisqu’on peut du moins approcher de leur valeur aussi près qu’on voudra, quand on ne les a pas exactement.
On appelle aussi arithmétique décimale, l’arithmétique telle que nous la pratiquons, & dans laquelle on se sert de dix chiffres : surquoi voyez Binaire & Échelles arithmétiques, au mot Arithmétique, & Dactylonomie. Il seroit très à souhaiter que toutes les divisions, par exemple de la livre, du sou, de la toise, du jour, de l’heure, &c. fussent
