j’avance des choses qui sont en partie depuis longtemps connues.
Que voulons-nous exprimer quand nous disons que notre espace est infini ? Évidemment ceci que nous pourrions mettre un nombre quelconque de corps de même grandeur l’un à la suite de l’autre, sans que l’espace soit jamais rempli. Imaginons un grand nombre de caisses cubiques d’égale grandeur ; nous pouvons alors, d’après la géométrie euclidienne, les placer de telle façon les unes sur les autres, les unes à côté des autres et les unes derrière les autres qu’un espace aussi grand qu’on voudra soit rempli ; mais cette construction ne prendrait jamais fin ; de nouveaux cubes pourraient être ajoutés du côté extérieur, sans qu’il y ait jamais manque de place. C’est cela que nous voulons exprimer quand nous disons que l’espace est infini. Il vaudrait mieux dire : l’espace est infini par rapport aux corps pratiquement rigides, à condition que les lois de position pour ces derniers soient fournies par la géométrie euclidienne.
Un autre exemple d’un continu infini est le plan. Nous pouvons disposer sur un plan de petites pièces de carton de telle façon qu’à chaque côté d’un carré de carton soit appliqué un autre carré de carton. La construction ne sera jamais finie ; on peut toujours ajouter de nouveaux carrés de carton — à condition que leurs lois de disposition soient conformes à celles des figures planes de la géométrie euclidienne. Le plan est ainsi infini par rapport aux carrés de carton. On dit en conséquence que le plan est un continu infini à deux dimensions et que l’espace en est un à trois dimensions ; je suppose qu’on sait parfaitement ce qu’il faut entendre ici par nombre de dimensions.
Donnons maintenant un exemple d’un continu à deux dimensions qui est fini mais sans bornes. Imaginons la surface d’une grande sphère et un grand nombre de petits disques circulaires de papier d’égale grandeur. Nous appliquons un de ces petits disques de papier en un endroit quelconque de la sur-
