LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMEN TS DʼEUCLIDE. 55
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ. | PROPOSITIO VII. |
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Τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα. |
Æquales ad eamdem eamdem habent ra- tionem, et eadem ad equales. |
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Ἑστω͵ ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τιῖ ὃ ἔτυχε μέγεθος τὸ Γ' λέγω ὅτι ἑκάτερον τῶν Α,, Β πρὸς τὸ Τὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α., Β. |
Sint æquales magnitudines A, B , alia autem. quelibet magnitudo T'; dico utramque ipsarum A, B ad T habere eamdem rationem, et r' ad utramque ipsarum A, B. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν" Α, Β ἰσάκις πολλα- πλάσια τὰ Δ, Ἑ, τοῦ δὲ Τ᾿ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολ- λαπλάσιον τὸ Z. |
Sumantur enim ipsarum A, 3 quidem zque multiplices A, E, ipsius vero T alia utcunque multiplex Z. |
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Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β' ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε-. Αλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ 2 τοῦ Γ πολλαπλάσιονϑ" εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ 2, ὑπερέχει καὶ τὸ Ἐ τοῦ Ζ" καὶ εἰ ἔσον, ἔσον" |
Quoniam igitur zque est multiplex A ipsius A ac E ipsius B, æqualis autem A ipsi B; a- qualis igitur ct A ipsi E. Alia vero Z ipsius utcunque multiplex; si igitur superat A ipsam Z, superat ct E ipsam Z; et si equalis , equa- |
Des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur, et une même grandeur a la même raison avec des grandeurs égales.
Soient les grandeurs égales A, B, et Γ une autre grandeur quelconque ; je dis que chacune des grandeurs A, B a la même raison avec Γ, et que Γ a la même raison avec chacune des grandeurs A, B.
Prenons des équimultiples quelconques 4, E de A et de B, et un autre mul- tiple quelconque Z de r.
Puisque 4 est le même multiple de À que E l'est de B, et que 4 est égal à B, A est égal à E. Mais Z est un autre multiple quelconque de r ; donc, si Δ surpasse Z , E surpasse Z ; si Δ est égal à z, E est égal à Z ; et si A est plus petit
