353 LE CINQUIEME LIVRE DES ELEMENTS DʼEUCLIDE.
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καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. Καὶ ἔστι τὰ μὲν Δ. Ἑτῶν Α, Β Ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Τ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολλαπλάσιον ἔστινί" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ πρὸς ΤΟ Τ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸτο |
lis; et sí minor, minor. Et sunt quidem A, g ipsarum A, B sque multiplices, ipsa vero z ipsius P alia utcunque multiplex est; est igitur ut A ad T, ita B ad T. |
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λέγω δὴδ ὅτι καὶ τὸ ΓΤ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α» Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. |
Dico autem et T' ad utramque ipsarum A, B eamdem habere rationem. |
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τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ὁμοίως δὴδ δλίξομεν ὅ ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ἐ’ ἄλλο δὲ τι τὸ Z εἰ ἄρα ὑπερέχει, τὸ 2 τοῦ Δ, ὑπερέχει τὸ 27 καὶ τοῦ Ἐ" καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον, ἴλαττον. Καὶ ἐστὶ τὸ μὲν 2 τοῦ Τ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α΄, Β ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Τ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Τ πρὸς τὸ Β. Τὰ ἴτα ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆρδ, |
lisdem enim constructis, similiter utique os- tendemus zqualem esse A ipsi E; alia vero quzdam Z; si igitur superat Z-ipsam A, s- perat Z et ipsam E; et si zqualis, equalis; et si minor, minor. Et est Z quidem ipsius T mul tiplex ; ipse autem, E ipsarum A , B alig ut. cunque eque multiplices; est igitur ut T ad A , ita T ad B. JEquales igitur , etc. |
que z,E est plus petit que z. Mais A, E sont des équimultiples quelconques de A et de B, etZ est un autre multiple quelconque de r; donc Aestar comme B est à r (déf. 6.5).
Je dis aussi que r a la même raison avec chacune des grandeurs 4, B.
La même construction étant faite, nous démontrerons semblablement que est égal à E; mais Z est un autre multiple quelconque ; donc si Z surpasse A, z sur- passe ; siz est égalà a, z est égal à E, et si z est plus petit que r, z est plus petit que E. Mais z est un multiple de r, et A, E sont d'autres équimultiples quelconques de 4 et de B ; donc rest à A comme r est à B (déf, 6.5). Donc, etc.
