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ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ ταῖςʼ δυσὶ ταις ἐντὸς και ἀπεναντίον ταῖς υπὸ ΓΑΒ. ΑΒΓ. καὶ αἰ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι, αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ ; ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. |
ATA æqualem esse duobus interioribus et op- posiis PAB, ABD, et interiores triauguli tres angulos ABP, BIʼA, TAB duabus rectis æquales esse. |
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ῆχθω γάρ, διὰ τοῦ Γ σημείου, τῇ ΑΒ εὐϑείᾳ πάρώλλαλος ἡ ΓΕ. |
Ducatur enim, per Γ punctum, ipsi AB recte parallela ΓE. |
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Καὶ επεὶ πταραλληλὸς εἐστιν ἢἡ ΑΒ τῇ ΤΕ, καὶ εἰς αὐτὰΑὰς ἐμλπίπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐνελλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕΑΕ ἰσαι ἀλλήλαις εἰσί, Πάλιν, ἱἐπεὶ παράλλήλος ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτάας ἐμππέπτωκεν ευθείὰα ἡ ΒΔ’ ἡ ἐκτὸος γωνἰα ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τί ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. Εδείχθη δὲ παὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τὴῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἰσὴ ὁὑλῆ ἀρὰ ἢ υπὸ ΑΓΔ ἐκτος, γωνίώ ΙσῊ εστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ απεναντίον ταῖς υπό ΒΑΓ, ΑΒΓ. |
Et quoniam parallela est AB ipsi TE, et in ipsas incidit. AT, alterni anguli BAT, ATE æquales inter se sunt. Rursus ; quoniam paral- lcla est AB ipsi TE, et in 1psas incidit recta BA, exterior angulus EFA æqualis est interiori et opposito ABF. Ostensus autem est et ATE ipsi BAT æqualis ; totus igitur ATA exterior angulus tqualis est duobus interioribus et oppositis BAΓ, ABΓ. |
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Κηἰίνῆ προσκχείσθω ἡ υπὸ ΑΓἔἢ. αἱΐ ἀρα υπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΙ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι |
Communis addatur ATB ; ergo ATA, ATB tribus ABP, BUTA, TAB æquales sunt. Sed AΓΔ, |
rieur AΓΔ est égal aux angles intérieurs et opposés TAB, ABT ; et que les trois angles intérieurs ABr, BrA, TAB sont égaux à deux droits.
Menons, par le point r, la droite rE parallèle à AB (31) .
Puisque AB est parallèle à TE, et que Ar tombe sur ces droites, les angles alternes BAT, ATE sont égaux entr’eux (29) . De plus, puisque la droite AB est parallèle à la droite ΓE, et que la droite BA tombe sur ces droites, l’angle exté- rieur ETA est égal à l’angle intérieur et opposé ABr. Mais on a démontré que l’angle ΑΤῈ est égal à l’angle BAΓr ; donc l’angle extérieur ArA est égal aux deux angles intérieurs et opposés BAΓ, ABΓ.
Ajoutons l’angle commun ΑΓΒ ; les angles AΓA, AΓB seront égaux aux trois
