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Καὶ ἐπεὶ παραλλήηλος ἐστιν ἢ ΓΖ τῇ ΑΔ. και εἰς αὑτὰς ἐμπεστωκεν ἢ ΒΔ, ʼ ἐκτὸς γων ! α ἡ ὑπὸ ΤῊΒ : 6Ὴ ἐστιί τῇ εντὸς καὶ ἀπεναντιον Τῇ ὑπὸ ΑΔΒ. Αλλ η ὑπὸ ΑΔΒ Τή ὑπὸ ΑΒΔ εστιν ἶ’σπ, ἐσπε ! παὶ ʼπλεεφοι ἢἡ ΒΑ τὴῇ ΑΔ εστιν ἰση" καὶ ἡ ὑπὸ ΤῊΒ ἄρῶὼ γωμί τῇ ὑπὸ ΗΒΙ ἐστιν ἰση" ὥστε καὶ πλευρὰ : ΒΓ πλευρᾷ πτῇ ΤῊ ἐστὶν ἰση, Αλλὰ ἡ μεν 18 τῇ ΗΚ ἐστὶν ἰσῆ, ἢ δὲ ΤΗ τῇ ΒΚ καὶ ἡ Ἡϊξ ἆἶτω τὴ ἈΒ εἐστιν 45 ἰσὸ- σλεύρον ἀρὰ ἐστί πὸ ΓΗΚΒ, Λέγω δὰ ὅτι καὶ ὀρθογωνιον. Ἐπεὶ γὰρ παραλληλὸς εἐστὴν η ΤῊ τῇ ΒΆ. καὶ εἰς αὐτὰας εἰέπεσεν ἡ Τ1Β" α : ὡρα ὑπὸ ΚΒΓ, ΒΙῊ γω"ἰαι δυσὶν ὀρθαὶς εἰσὶν ἰσαφξς Ορθη δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ" ἐρθήὴ ἀρα καὶ ἡ υὑπὸ ΒΙΗ. Ωστε καὶ αἱ ἀπεια : τίον. αἱ ὑπὸ ΤῊΚ. ἩΚΒ ὁρβαί εἶσιν" ὀρϑογώνεον ἀρα ἐστὶ ΤΟΓΗ͂ΚΒ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον" τετράγώτον ἀρὰ ἐστί, καὶ ΕστΤΙν ἀπὸ τῆς ΤΒ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ 62 τετρά- γωνον εἐστι 9 καὶ ἐστίν ἀπὸ τῆς ΘΗ͂. Τοῦτ ἐστιν ἀπὸ" τῆς ΑΤ τὰ ὡρῶ ΘΖ. ΤΚ τετράγωνα ατὸ τῶν ΑΤ΄. ΤΒ εἰσί. Καὶ « πεὶ ἰσὸν ἐστὶ τὸ ΑἩ τῷ ἩΕ. καὶ εἐστί τὸ ΑἩ τὸ υπὸο τῶν ΑΓ. ΤΒ. ἰσῆ |
Et quoniam parallela est TZ ipsi AA, et in Ipsas incidit BA, interior angulus TʼHB equalis est interiori et opposito AAB. Sed AAB ipsi ABA est equalis, quoniam et latus BA ipsi AA est squale ; et THB igitur angulus ipsi HBIʼ est equalis ; quare et latus BD lateri PH est equale. Sed TB quidem ipsi HK est equalis, TH vero ipsi BK ; et HK igilur ipsi KB estequalis ; wqui- laterum igitur esL DHKB. Dico etiam et rectangu- lum. Quoniam enim parallela est DH ipsi BK, et in ipsas incidit DB ; ipsi igitur KBP, BIʼH anguli duobus rectis sunt equales. Rectus autem est KBDI ; rectus igitur et BTH. Quare et oppositi LTHK, HKB rect sunt ; rectangulum igitur est CHKS. Ostensum autem £st et cquilaterum ; quadratum igitur est, et est ex B, Propter eadem utique el OZ quadratum est, et est ex €H, hoc est ex ADI ; ipsa igitur OZ, TK quadrata ex AT, TB sunt. Et quoniam « quale est AH ipsi HE, et est AH ipsum sub AT, PB, equalis enim HT ipsi lʼB ; et HE igitur æquale ipsi sub AT, DB ; ipsa igitur AH, HE aequalia sunt ipsi bis |
Puisque Γz est parallèle à AA, et que BA tombe sur ces deux droites, l’angle extérieur THB est égal à l’angle intérieur et opposé 44B (29. 1) . Mais l’angle 4aB est égal à lʼangle 4ABA (5. 1) , puisque le côté BA est égal au côté AA ; donc l’angle rHB est égal à l’angle HBr ; donc le côté Br est égal au côté TH (6. 1) ; mais rB est égal à HK (34. 1) , et TH égal à BK ; donc Ek est égal à KB ; donc le quadrilatère rHKB est équilatéral. Je dis qu’il est rectangle. Car puisque TH est parallèle à BK, et que r£ tombe sur ces deux droites, les angʼes KT, BTH sont égaux à deux droits (29. 1}. Mais l’angle KEr est droit (dé. 50. 1) ; donc l’angle BrH est droit. Donc les angles opposés THK, HKB sont droits aussi (34. 1) ; donc le quadrilatère THKB est rectangle. Mais on à démontré quʼil est équilatéral ; donc ce quadrilatère est un quarré, et ce quarré est décrit avec TB. Par la même raison Θ2 est aussi un quarré, et ce quarré est décrit avec ΘH, c’est-à-dire avec AΓ ; donc ΘZ, ΓK sont des quarrés décrits avec AΓ, TB. Et puisque le rectangle AH est égal ai rectangle HE- (43. 1) , et que le rectangle AH est com-
