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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΤ τῇ ΤῈ, ἰσὴ ἐστὶ καὶ γῶνίω Ἡ ὑπὸ ΔῈΓ τῇ υπὸ ἙΑΤ. Κκαὶ ορῦη ἢ πρὸς τὸ Γʼ ἡμίσεία ἀρὰ ορθπς ἐστιν" ἐκατερώ τῶν ὑπὸ ἘΑΤ ΑἘΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δῊ καὶ εἐπατέρω τῶν ὑπὸ ΤῈΒ. ἘΒΓ ἡμίσειω εἐστιν ορθπς-ιʼ ορθπ ἄρὰ ὁστιν ὑπὸ ΑἘΒ, Καὶ ἐπεῖ Ἡμίσεια ορθπς ἐστιν ἡ ὑπὸ ἘΒΤ. πμισειν ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπο ΔΒΗ. Ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ορθῆ. ἴση γάρ ἐστι τῇ υπτὸ ΔΙῈ, εἐναλλὼξ γὰρ. λοίπῇ ἀρὰ ἢ ὑπὸ ΔΗΒ5 τῇ ὑπὸ ΔΒΗ εστὶν ἰσῆ. ὥστε καὶ πλευρὰ ἢ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΗ͂ ἐττὶὴν ἰσή, Παάλιν. ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ἘΗ2 ἡμίσεια ἐστιν υρζῆς. ορθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ2, ἐση ηαρ ἐστι τῇ ὠπένμαντιον Ττῇ σρὸς τῷ Τ᾿ λοιπῆ αΡα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ Μμισωα ἐστιν ο ; θης ἰσὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ἘΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ" ὥστε καὶ ʼπλευροι ΗΖ πλευρῷᾷ τῇ 2Ὲ « στὶν ἰσῆ. Καὶ ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἡ ΕΓΤΉΤΑ. ἐσὸν εἐστιὶ καὶ τὸ ἀπὸ τὴ ς ἘΓ τετραγῶ- γον ἕῷ ἀπὸ Τ ΤΑ τετραγωγῷ" τὰ ἀρὰ απὸ τῶν ΕἘΓ ; ΤΑ τετράγωνα διπλασιά ἐστι πτοῦ ἀπὸ τῆς ΓᾺ τετραγῶώνου, Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ἘΓ. ΤΑ ἔσον ἐστι τὸ αἴτὸ τῆς ΑἘ" τὸ αρὰ ὠπὸ τῆς ἙἘΑ τέτρα-- γῶνον δι πλώσιὸν ἐστι τὸοὺῦ σπὸ τῆς ΑΤ τετραγω- γου, ἸΙαλὴν. « πτεῖ ἰσὴ ἐστὴν ἢ ΖΗ τῇ ΖΕ. ἔσον ἐστὶ |
Et quoniam æqualis est AT ipsi PE, æqualis est et angulus AETʼ ipsi EAT ; atque rcctus est ad l ; dimidius igitur recti est. uterque ipso- rum EAT, AET. Propter eadem utique et uterque ipsorum TlʼEB, EBIʼ dimidius est recti ; rectus igitur est AEB. Et quoniam dimidius recti est EBTʼ, dimidius igitur recti est et ABH. Estautem et BAH rectus ; cqualis enim est isp1 ATE alterno. Reli- quus igitur AHE 1psi ABH est : qualis ; quare et latus BA lateri AH est : equale. Rursus, quoniam EHZ dimidius est recti, rectus autem est qui ad Z, : qualis enim est opposito qui ad T ; reli- quus igitur ZEH dimidius est recti ; equalis 1gi- tur EHZ angulus ipsi ZEH ; quare et latus HZ lateri ZE est : equalc. Et quoniam equalis est ET ipsi A, aequale est ct ex EP. quadratum ipsi ex TʼA qua- drato. Ergo ex ET, IʼA quadrata dupla sunt ex ʼA quadrati. Ipsis autem ex ET, A : quale est ipsum ex AE ; ergo ex EA quadratum duplum est fpsius ex AT quadrato. Rursus, quoniam æqualis est ZH ipsi ZE, : equale est et ipsum ex HZ Ipsiex ZE. Ipsa igitur ex HZ, ZE dupla sunt ipsius ex EZ. Ipsis autem ex HZ, ZE x quale est ipsum ex EH. Ipsum |
Puisque Ar est égal à TE, l’angle AEr est égal à l’angle EAT (5. 1. ) ; mais l’angle en rest droit ; donc chacun des angles EAT, AET est la moitié d’un droit (32. 1) . Par la même raison, chacun des angles TEB, EBT est la moitié d’un droit ; donc lʼangle AEB est droit. Et puisque lʼangle EBr est la moitié d’un angle droit, lʼangle ABH est la moitié d’un droit (15. 1) . Mais l’angle 84H est droit (29. 1) , car il est
égal à l’ angle alterne ATE ; donc l’angle restant AHB est ég gal à l’angle ABH ; donc le côté BA est égal au côté AH (6. 1) . De plus, puisque l angle EHZ est la moitié d’un droit, et que l’angle en z est droit, car il est égal à l’angle opposé en r (34. 1, lʼangle restant ZEH est la moitié d’un droit ; donc l’angle EHZ est égal à langle ZEH ; donc le côté Hz est égal au côté ZE (6. 1) . Et puisque Er est égal à TA, le quarré de Er est égal au quarré de rA ; donc les quarrés des droites ET, TA sont doubles du quarré de ra. Mais le quarré de AE est égal aux quarrés des droites ET, FA (47. 1) ; donc le quarré de EA est double du quarré de Ar. De
