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Ἐπεὶ οὐνΘ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάππεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἀφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ 2ΖΤ ἄρα καθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ. Εστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθὴ". ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΙῊ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ Ζ κἔέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾽ὲ ἀλλό τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ, Εὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ εξῆς. |
Quoniam igitur circulum ABΓ contingit ali- qua rectia 4, o3Ó centro autem ad contactum ducta est ZΓ, ZΓ ergo perpendicularis est ad AE ; rectus igitur est ZzE. Est autem et AΓE rectus ; æqualis igitur est ZΓE ipsi AΓE, minor majori, quod est impossibile. Non igitur Z cen- trum est ABΓ circuli. Similiter utique ostende- mus, neque aliud aliquod esse pryterquam in ipsá AΓ. Si igitur circulum, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ. | PROPOSITIO XX. |
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Εν κύκλῳ, ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλα- σίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὁταν τὴν αὐτὴν περι, Φέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι. Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΙςε καὶ πρὸς μὲν τῷ κέν- τρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ. λέγω ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. |
In circulo, ad centrum angulus duplus est ipsius ad circumterentiam, quando eamdem circumferentiam pro basi habent anguli. Sit cirenlus ABΓ, et ad centrum quidem ejus angulus sit BEΓ, ad circumferentiam vero ipsi BAΓ, habeant autem eamdem circumferentiam pro basi BΓ ; dico duplum esse BEΓ angulum ipsius BAΓ, |
Puisque la droite ΔE touche le cercle ΑΒΓ, et que ΖΓ a été mené du centre au point de contact, la droite zr est perpendiculaire à ΔῈ (18. 3) ; donc l’angle ZTE est droit. Mais l’angle AΓEB est droit aussi ; donc l’angle ZTE est égal à l’angle ATE, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point Ζ m’est pas le centre du cercle ΑΒΓγ. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre point ne peut l’être, à moins qu’il ne soit dans Αγ. Donc, etc.
Dans un cercle, l’angle au centre est double de l’angle à la circonférence, quand ces angles ont pour base le même arc.
Soit le cercle ABΓ, que l’angle ΒΕΓ soit au centre de ce cercle, que l’angle ΒΑΓ soit à la circonférence, et que ces angles ayent pour base le même arc zT ; je dis que l’angle ΒΕΓ est double de l’angle BAT.
