| ΠΡΟΤΑΣΙΣ καʹ. | PROPOSITIO XXI. |
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Ενυν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. |
In circulo in eodem segmento anguli æqua- les inter se sunt. |
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Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷτ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑποΒμεδ, ΒΕΔ. λέγω 6τι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. |
Sit circulus ABΓΔ, et in eodem segmento BAEX anguli sint BAΔ, BEΔ ; dico BAΔ, BE^ angulos æquales inter se esse. |
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Εἰληφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ πκέντρον. καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ, . |
Sumatur enim BΓáΔ circuli centrum, et sit Z, et jungantur BZ, Zá. |
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Καὶ ἐπεὶ ἡ ἱὶν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέν- τρῷ ἐστὶν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἐχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βαάασιν, τὰν ΒΓΔ. ἡ ἄρὰ ὑπὸ ΒΖΔ γωνία δυεπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστὶ διπλασίων ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ, Εν κύκλῳ ἀρὰ, καὶ τὰ ἑξῆς. |
Et quoniam quidem BZA angulus ad cen- trum est, ipse vero BÁΔ ad circumferentiam, et habent eamdem circumferentiam BΓΔ pro basi ; erg oBZ angulus duplus est ipsius BAΔ. Propter eadem utique BZΔ et ipsius BEΔ est duplus ; æqualis igitur BAΔ ipsi BEΔ. In circulo igitur, etc. |
Dans un cercle, les angles placés dans le même segment sont égaux entreux.
Soit le cercle ÂBΓ, et que les angles BAA, BEA soient dans le même segment BAES ; je dis que les angles ΒΑΔ, ΒΕΔ sont égaux entr’eux.
Car prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 3) , qu’il soit Z, et joignons BZ, Za.
Puisque l’angle ΒΖΔ est au centre, que l’angle BAÛ, est à la circonfé- rence, et que ces deux angles ont pour base le même ard ΒΓΔ, l’angle ΒΖΔ est double de l’angle ΒΑΔ (10. 3) . L’angle ΒΖΔ est double de l’angle ΒΕΔ, par la même raison ; donc l’angle ΒΑΔ est égal à l’angle ΒΕΔ (not. 7) . Donc, etc.
