| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβʼ. | PROPOSITIO XXII. |
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“Ιῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναν- τίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαζς ἴσαι εἰσίν. |
In circulis quadrilaterorum oppositi anguli duobus rectis æquales sunt. |
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Εστω καὐκλὸς Ο ΑΒΓΙΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετρά- πλεύρον ἔστω τὸ ΑΒΡΔ. λέγω ὅτι αἱ ἀπεναγτίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ορθαῖς ἴσαι εἰσίν. |
Sit cireulus ABΓA2, et in ipso quadrilaterum sit ABΓΔ ; dico eppositos ipsius angulos duo- bus rectis æquales esse. |
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Επεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ. |
Jungantur AΓ, BΔ. |
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Ἐπεὶ οὐν1 παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου23 αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ιση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματιί εἰσι τῷ ΒΑΔΙ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ. " ὁλη ἄρα ἡή ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓς αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓΙΓ, |
Quoniam igitur omnis trianguli tres anguli duobus rectis æquales sunt, ipsius ABΓ triangul tres anguli VAB, ABΓ, BΓA duobus rectis æquales sunt. Jqualis autem quidem ΓAB ipsi BAΓ, ete- nim in eodem sunt segmento BAΔΓ, et AΓB ips ABB, etenim in eodem sunt segmento AAAR, Totus igitur AΔΓ ipsis BAΓ, AΓB æmualis est Communis addatur ABΓ ; ergo ABΓ, BAΓ, AIB |
Les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits.
Soit le cercle ABΓΔ, et que le quadrilatère ÂBΓ5 lui soit inscrit ; je dis que les angles opposés de ce quadrilatère sont égaux à deux droits.
Joignons AΓ, ΒΔ.
Puisque les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits (32. 1) , les trois angles ΓAB, ABΓ, ΒΓΑ du triangle ΑΒΓ sont égaux à deux droits. Mais l’angle ΓΔΒ est égal à l’angle ΒΑΓ (z21. 3) , car ils sont dans le même segment BAAT ; et l’angle AΓB est égal à l’angle ΑΔΒ, car ils sont dans le même segment ΑΔΙΒ ; donc l’angle entier ΑΔΓ est égal aux angles BAΓ, ΑΓΒ. Ajoutons l’angle
