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Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κἐντρων δύο δὴ αἱ ΒΗ͂, ΗΓ δυσὶν ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι εἰσί3. καὶ γωνία ᾧ πρὸς τῷ Ἡ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση ἐστί4. βασις ἄρὰ ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση5. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνίὰ τῇ πρὸόὸς τῷ Δ, ὀμοιον ἀρὰ ἐστίὦ τὸ ΒΑΡ τμήμα τῷ ΕΔΖ τμήματι, καὶ ἐστὶν ἐπὶ ἰσων εὐθειῶν τῶν Β᾽, ΕΖ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ομοια τμημωτὰ κυκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίνθ. ἐσὸν ἄρα τὸ ΒΑΓ τμήῆμα τῷ θΔΖ τμηματι7ν. Ὀ Εστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὁλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος, λοιπὸν ἀρὰ ΒΚ᾽Γ τμῆμα λοιπῷ ΕΔΖ ἰσονʼ ἡ ἀρὰ ΒΚΓ περιφέρειά ἐστιν ἴση τῇ ΕΛΖ περιφερείμ, δξαὰν ἀρὰ τοῖις ἰσοις, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Et quoniam æquales sunt ABΓ, AEZ circuli, æquales sunt ipsæ ex centris ; duæ igitur BH, HΓ duabus EΘ, Qz æquales sunt ; et angulus ad H angulo : ad æ æqualis est ; basis igitur BΓ basi EZ est æqualis. Et quoniam æqualis est, ad A angulus ipsi ad. Δ, simile igitur est BAΓ segmentum ipsi EΔ segmento, et sunt super æquales rectas BΓ, EZ ; ipsa autem super æquales rectas similia segmenta circulorum æqualia inter se sunt ; æquale igitur BAΓ seg- mentum ipsi EAZ segmento. Est autem et totus ABΓ circulus toti ΔEZ circulo æqualis ; reliquum igitur BKΓ segmentum reliquo EAZ æquale ; ergo BKΓ circumferentia æqualis est EXZ cireumfereutiz. Si igitur in æqualibus, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κζʹ. | PROPOSITIO XXVII. |
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Εν τοῖς ίσοις κὔκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιΦερειωὼν βεηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσῖν, ἐὰν τέ σρὸς τοιῖς κέντροις, ἐὰν τε σρὸςὦ τοις σεριφεέρέίαις ῶσι βεϐηκυζαιε. |
In æqualibus circulis ips1 æqualibus circum- ferentiis insistentes anguli æquales inter se sunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint in- sistentes. |
Puisque les cercles ABΓ, ΔΕΖ sont égaux, leurs rayons sont égaux ; donc les deux droites BH, ΗΓ sont égales aux deux droites ΕΘ, ΘΖ ; mais l’angle en H est égal à l’angle en Θ ; donc la base BΓ est égale à la base EZ (4. 1) . Mais l’angle en Α est égal à l’angle en Δ ; donc le segment ΒΑΓ est semblable au segment BAZ (déf. 11. 3) ; mais ils sont placés sur les droites égales BΓ, EZ, et les segments de cercles semblables, qui sont placés sur des droites égales, sont égaux entr’eux (24. 3) ; donc le segment BAΓ est égal au segment ΕΔΖ. Mais le cercle entier ABΓ est égal au cercle entier. Z ; donc le segment restant ΒΚΓΡ est égal an segment restant EAZ ; donc l’arc ΒΚΓ est égal à l’arc ErZ. Donc, etc.
Dans les cercles égaux, les angles qui comprènent des arcs égaux sont égaux entr’eux, soit qu’ils soient aux centres, ou aux circonférences.
