LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. Η͂ν δὲ καὶπἝ τὸ, ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῶ ἀπὸ τῆς ΔΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶνδα τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. Εστι δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ Ζ2Β ἴση, δώο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσὶ. καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ 2ΖΔ, Γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ |
æquale est ipsi ex AE. Erat autem et ipsum sub AΔ, AΓ æquale ipsi ex AB ; ipsum igitur e AE æquale est ipsi ex ΔAB ; æqualis igitur Ag ipsi AB. Est autem et ZE ipsi ZB æqualis, duæ igitur AE, EZ duabus AB, BZ æquales sunt, et hbasis ipsarum communis Z^4 ; angulus igitur |
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τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστὶν ἴση. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ : ὑπὸ ΔΒΖ. Καὶ ἔστιν ἡ ΒΖ ἐκὍαλλο- μΈένη διάμετρος, ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὶ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται καὶ τοῦ κὐκλου. ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύ- κλου. Ομοίως δὲ δειχθήσεται κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶῆς ΑΓ τυγχάνῃ. Εὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ ἐξῆς, |
AEZ angulo ABZ est æqualis. Rectus autem AEZ ; rectus igitur et ABZ. Et est BZ product diameter, ipsa vero diametro circuli ab ezxtre mitate ducta contingit et circulum ; ipsa 4, igitur contingit ABΓ circulum. Gimiliter autem ostendemus, et si centrum in AΓ sit, Si igitu extra circulum, etc. |
ΔΓ est égal au quarré de ΔE (36. 3) . Mais le rectangle sous ΑΔ, ΔΓ est égal au quarré de nB ; donc le quarré de est égal au quarré de 33 ; donc ΔE est égal à nB. Mais ZE est égal à ΖΒ, donc les deux droites ΔΕ, EZ sont égales aux deux droites ôB, BZ ; mais la base zr est commune ; donc l’angle ΔΕΖ est égal à l’angle ΔΒΖ (3. 1) - Mais l’angle ΔΕΖ est droit ; donc l’angle ΔΒΖ est droit aussi. Mais la droite ΒΖ prolongés est un diamètre, et une droite perpendiculaire au diamètre et menée d’une de ses extrémités est tangente au cercle (16. 3) . Donc la droite ûB est tangente au cercle ΑΒΓ. La démonstration serait la même si le centre était dans ΑΓ. Donc, etc.
