LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 253
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἡ. | PROPOSITIO VIII. |
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τῶν ἀνίσων μεγεθῶν, τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον" καὶ τὸ ΜΗΒΕΒΝΝ ᾿ ἌἬΞἭἩ᾿ΆᾺ. αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχε; ἥπερ πρὸς τὸ με |
Inæqualium magnitudinum, major ad eamdem. majorem rationem habet quam minor; et ea- dem ad minorem majorem rationcm habet quam ad majorem. |
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Ἑστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖς ὧον τὸ ΑΒ'., ἄλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ Δ’ λέγω ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Τ' πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Τ' μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ, |
Sint inæquales magnitudines AB, T', et sit major AB, alia vero utcunque A; dico AB ad A majorem rationem habere quam T ad A , et A ad T majorem rationem habere quam ad AB, |
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Ἐπεὶ γὰρ μείζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Τ', κείσθω τῷ Τ ἴσον τὸ ΒΕ, τὸ δὰ ἔλασσον τῶν ΔῈ. ΕΒ πολ- λαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. Ἑστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ἘΒ,, καὶ πεπολλα- πλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω" αὐτοῦ πολλαπλάσιον |
Quoniam enim major est AB ipsá P, pona- tur ipsi P equalis BE, minor utique ipsarum AE, EB multiplicata, erit aliquando ipsà A major. Sit primum A2 minor ipsiEB, et multiplice- tur AE, et sit ipsius rhulüplex ZH major |
Deux grandeurs étant inégales, la plus grande a avec une même grandeur une plus grande raison que la plus petite, et une même grandeur a avec la plus petite une plus grande raison qu’avec la plus grande.
Soient les grandeurs inégales AB, r; que AB soit la plus grande, et que 4 soit une autre grandeur quelconque ; je dis que AB a avec A une plus grande raison que r avec A, et que À avec r une plus grande raison qu’avec AB.
Car puisque 48 est plus grand que Tr, faisons BE égal à r; la plus petite des grandeurs AE, EB étant multipliée, deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5.5), Que 48 soit d’abord plus petit que EB; multiplions AE, que son multiple
