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Τριγὤνου γοἰρ τοῦ ΑΒΓ παροἷλλπλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ" λέγω ὁτί ἐστὶν ὡς ἥ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ οὔτως ἡ ΤῈ πρὸς τὴν ἘΑ. |
Trianguli enim ABT parallela uni laterum BT ducatur AE ; dico esse ut BA ad AA ita LE ad EA. |
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Ἐπεζεύχθωσαν γάρ αἱ ΒΕ, ΓΔ. |
Jungantur enim BE, TA. |
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Ισὺὸν δὴ" ἐστὶ τὸ ΒΔῈ τρίγωνον τῷ ΓΔῈ τριγώνῳ, ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖῆς αὐταῖς ςτειροιλλω΄λαις ταῖς ΔΕ. ΒΓ. Αλλο δὲ τί τὸ ΑΔῈ τρέγωνον" τὰ δὲ ἰσὰ πρὸὺς τὸ αὐτὸ τὸν αὐὑτον ἐχϑ : λογον" ἐστὶν ἀρᾶ |
Æquale utique est BAE triangulum ipsi rAg triangulo, in eádem enim basi sunt AE et intra easdem parallelas AE, BP. Aliud auteg quoddam AAE iriangulum ; zqualia vero ad idem eamdem habent rationem ; est lgitur ut |
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ὡς τὸ ΒΔΕ τρἵγωνον πρὃς τὸ ΑΔῈ τρἵ) ω ; ’ονἷι οὕ-- τῶς τὸ ΤΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ τρίγωνον. Αλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ΒΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ οὔ- τῶς ἡ ΒΔ ’πρὃς τὴν ΔΑ" ὑπὸ φοἓρ τὸ αὐτὸ ὗψος ὄντα, τὴν ἀπὸ τοῦ Ἑ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγο- μένην. πρὸς ἀλληλά εἶσιν ὡς αἱ βάσεις. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ" ὡς τὸ ΤΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ οὖτως ἡ ΤῈ ττρὄς πὴν ἘΑ" καὶ ὧς ἆ’Ροι ῳ ΒΔ πρὄς τὴν ΔΑ οὖτως ἡ ΤῈ πρἓς τὴν ΕΔ. |
BAE triangulum ad AAE triangulum, ita Ax iriangilum ad AAE triangulum. Sed ut BAE quidem triangulum ad AAE ita BA ad AA ; nam cum sub eádem altütudine sint, sub) psá ab E ad AB perpendiculari ducià, inter ; e sunt ut bases. Propter eadem utique ut TAE iriangulum ad AAE ita TʼE ad EA ; et ut igitur BA ad AA ita TʼE ad EA. |
Menons AE parallèle à un des côtés Br du triangle ABr ; je dis que Ba est à AA comme TE est à EA.
Joignons BE, TA.
Le triangle BAE sera égal au triangle TAE (37. 1), parce qu’ils ont la même base AE, et quʼils sont compris entre les mêmes parallèles AE, Br. Mais AAE est un autre triangle ; et des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur (7. 5) ; donc le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE. Mais le triangle BAE est au triangle AAE comme BA est à A4 ; car ces deux triangles, qui ont la même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point E sur la droite AB, sont entrʼeux comme leurs bases (1. 6). Par la même raison le triangle TAE est au triangle AAE comme TE est à FA ; donc BA est à AA comme TE est à EA (11. 5).
