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Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ. ἘΓ εὖ- θεῖα ἐνέπεσεν" ἡ ΑΓ. ἡ ἀἄρα ὑπὸ ΑΤῈ γωνία ἴσὴ ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. Αλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἀ’ροι τῇ ὑπὸ ΑΤῈ ἐστὶν ἴση. Πάλιν. ἐπεὶ εἰς παραλλή- λους τὰς ΑΔ. ἘΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ. ἥ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴσὴ ἐστὶ τὴ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑἘΓ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤῈ τῇ υπὸ ΒΑΔ ἰση. καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤῈ ἄρα γωνίαϊ τῇ ὑπὸ ΑἘῈΤ ἐστὶν ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ᾧ ΔΑῈ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστὴὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓῈ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ἘΓ ἥκται ἡ ΑΔʼ ἀνάλογον ἂρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ οὕτως καὶ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, Ἰσὴ ὃὲ ἡ ΔΑῈ τῇ ΑΤʼ ὡς ἆ’ρωὅ ἡ ΒΔ ʼπρὄς τὴν ΔΙ οὕτως ἡ ΒΑ ʼπρὃς τὴν ΑΥ. |
Et quoniam in parallelas AA, ET recta incidit AUI ; crgo ATE angulus zqualis est ipsi TʼAA. Sed lʼAA ipsi BAA ponitur zqualis ; et BAA igitur lpsi ATE est zqualis. Rursus quoniam in parallelas AA, ET recta incidit BAE, exterior angulus BAA aequalis est interiori AED. Ostensug aulem est et ATE ipsi BAA zqualis ; et ATʼE igitur angulus ipsi AET est equalis ; quare et latus AE lateri AP est equale. Et quoniam trianguli. BFE juxta unum laterum ET ducta est 1psa AA ; proportionaliter igitur est ut. BA ad AIT jtà BA ad AE. Æqualis autem est AE ipsi AT ; ut igitur BA ad AT ita. BA ad AT. |
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Αλλὰ δὴ ἔστω ὡςβ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔʼ λέγω ὃτι ὄϊχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΤΙ γωνία υπὸ τὴς ΑΔ έὖθεἷας. |
Sed et sit ut BA ad AT ita BA ad ATʼ ; et jungatur AA ; dico bifariam sectum esse DAT angulum ab AA rectâ. |
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Tὼν γὰρ αὐτῶν κατασκχευάσθεντον 9 ἐπτεῖ ἐστιν ὡως ἢ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ ουτῶς ἢ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΤ αλλο καὶ ὡς ἢἡ ΒΔ σρρὸς τὴν ΔΙ ουτῶς εἐστιν ! ἢ |
Iisdem enim constructis, quoniam est ut BA ad AT ita BA ad ALT, sed et ut BA ad AT ita est BA ad AE ; trianguli enim BE juxta unum |
Puisque la droite AT tombe sur les parallèles AA, Er, l’angle ATE est égal à lʼangle rAA (29. 1). Mais lʼangle TAA est supposé égal à l’angle RAA ; donc l’angle BAA est égal à l’angle ATE. De plus, puisque la droite BAE tombe sur les parallèles AA, ET, lʼangle extérieur BAA est égal à l’angle intérieur AET (29. 1). Mais on a démontré que lʼangle ATE est égal à lʼangle BAA ; donc l’angle ATE est égal à l’angle AEr ; donc le côté AE sera égal au côté ar (6. 1). Et puisquʼon a méné la droite AA parallèle à un des côtés Er du triangle BTE, la droite BA est à ar comme BA est à AE (2. 6). Mais AE est égal à Ar ; donc BA est à AT comme BA est à AT (7. 5).
Mais que BA soit à AT comme BA est à AT ; joignons AA ; je dis que lʼangle BAT est partagé en deux parties égales par la droite 44.
Faisons la même construction. Puisque BA est à AT comme BA est à AT, et que BA est à AT comme BA est à AE (2. 6), car la droite AA est parallèle à un
