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Αλλα δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ. 9 ΑΔΕ τριγὧνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΤΑ ’πρἓς τῆν ΑΔ οὕτως ἡ ἙΑ πρὄς τὴν ΑΒ’ λέγω ὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρέγωνον τῷ ΑΔῈ τριγώνῳ. |
Sed utique reciproca sint latera igsorum ABD, AAE triangulorum, et sit ut A ad AA ita EA ad AB ; dico wquale esse ABT triangulum Ipsi AAE triangulo. |
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Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἅ ΤΑ ’πρὃς τὴν ΑΔ οὕτως ἡ ἙἘΑ ΄πρ. ὄς τὴν ΑΒ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρήγωνον, ὡς δὲ ἡ ἙΑ πρὸς τὴν ΑΒ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον" ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς Τὸ ΒΑΔʼ ἑκώτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΑΔῈ πρὺς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ἘΑΔ τρίγώνῳ. Ἰὼν αρὰ ΙΤῶν5 καὶ τὰ εξ’η ς. |
Junctá enim rursus BA, quoniam est ut lʼA ad A4 ita EA ad AB, sed ut A quidem ad AA ita ABI triangulum ad BAA irnangulum, ut EA vero ad AB ita EAA triangulum ad BAA trian- gulum ; ut igilur ABT triangulum ad BAA ita EAA triangulum ad BAA ; utrumque igitur ip- sorum ABI, AAE ad BAA eamdem habct ra- tionem ; zxquale igitur est ABT iriangulum ipsi EAA triangulo. /Equalium igitur, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPOSITIO XVI. |
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Ἐαὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὧσι, τὸ ὑπὸ τῶν ἀκρὼν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσὸν ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων ποριεχομένῳ ἐρθογωνίῳ" πᾷν ! |
Si quatuor rectæ proportionales sint, sub extremis contentum rectangulum dquale est ipsi sub mediis contento rectangulo ; et si sub |
Mais que les côtés des triangles ABΓ, AΔE soient réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que ΓA soit à AΔ comme EA est à AB ; Je dis que le triangle ABΓ est égal au triangle AΔE.
Joignons encore BΔ. Puisque ΓA est à AΔ comme EA est à AB, que ΓA est à AΔ comme le triangle ABΓ est au triangle BAΔ (1. 6) , et que EA est à AB comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ, le triangle ABΓ est au triangle BAΔ comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ (11. 5) ; donc chacun des triangles ABΓ, AΔE a la même raison avec le triangle BAΔ ; donc le triangle ABΓ est égal au triangle EAΔ (9. 5) . Donc, etc.
Si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les deux extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes ; et si le
