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Ἐί γαρ ανέζσοι ἔίσί, μίά αυτῶων μειζων ἐστιν. Ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆς ΘΗ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς η ΡΠ ͵πρὄς τὴν ͵ΠΣ οὕτως ἡ ΘΗ ʼπρὃς τὴν ΗΝ- καὶ ξναλλἆξ ὡς ἡ Π πρὄς τὴν ΘΗ οὕτως ἡ ΠΣ ʼπρὖς τὴν ἩΝ. Μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆς ΘΗ" μείζων |
Si enim incequales sint, una Ipsarum major est. Sit major PΠ ipsà OH. Ej quo- niam est ut PΠ ad ΠZ ita OH ad HN, e alterne ut PΠ ad OH ita ΠZ ad HN. Major autem ΠΡ ipsà ΘH ; major igitur et ΠX ips |
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ἄρῶ καὶ ἢἡ ΠΣ τῆς ΗΝ" ὠστε καὶ τὸ ὉΣ με : ζον ἐστί τοῦυ ΘΝ" αλλὰ καὶ ἐσὸν. ὅπερ ἀδυγῶτον οὐκ αρᾶὰ αἀνισὸς ἐστιν ἢ ΠΡ τῆς ΗΘ. ἐσὴ ἀβρὰ, Οπερ ἔδει δεῖζαι. |
HN ; quare et PZ majus est ipso ON ; sed et e quale, quod est impossibile ; non igitur inz- qualis est ΠΡ ipsi H9, æqualis igitur. Quod oporlcbat ostenderc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβʹ. | PROPOSITIO XXIII. |
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Τὰ ἶὖʼσφὤνιά παραλλπλὀγραμμα ’πρὄς ἄλληλα, λόγον ἐχεῖ τὸν συγκείμεγον εἰ τῶν πλευρῶν, |
Æquiangula parallelogramma inter se ratio- nem habent compositam ex lateribus. |
Car si ces droites sont inégales, une d’elles est plus grande. Que PΠ soit plus grand que ΘH. Puisque PΠ est à ΠΣ comme ΘH est à HN, par permutation, PΠ est à ΘH comme ΠΣ est à HN (16. 5) . Mais ΠP est plus grand que ΘH ; donc ΠE est plus grand que HN ; donc la figure PE est plus grande que la figure ΘN (20. 6) ; mais elle lui est égale, ce qui est impossible ; donc les droites ΠP, HΘ ne sont pas inégales ; donc elles sont égales. Ce qu’il fallait démontrer.
Les parallélogrammes équiangles ont entr’eux une raison composée des côtés.
