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αἱ περὶ τὰς ἰσας γωνίας" ἐστὶν ἄρα ὡς ἢ ΖῈ πρὄς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΑἙ προς τὴν ἘΒ. Ισὴ ἆἓ ἡ μὲν ΖῈ τῇ ΑΓ. τουτέστι τε ΑΒ. ἡ δὲ ἘΔ τῇ ΑΕ" ἔστιν ἀρὰ ὡς Ὦ ΒΑ σρὸς τὴν ΑΕἙ ουτῶς ἢ ΔῈ πρὄς τὴν ΕΒ. Μεἱζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ’ μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑἙ τῆς ἘΒ. |
sunt latera circa « quales angulos ; est igitur ut ZE ad EA ita AE ad EB. Æqualis autem ipsa quidem ZE ipsi AP, hoc est ipsi AB, ipsa vero EA ipsi AE ; est igitur ut BA ad AE ita AE ad EB. Major autem AB ipsà AE ; major igitur et AE ipsâ EB. |
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Η ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ- τμῆται κατὰ τὸ Ἐ- καὶ τὸ" μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστί τὸ ΑἙῈ, Οπερ ἐδει ποιῆσαι. |
Ipsa igitur AB recta secundum extremam et mediam rationem secta est in E, et majus ejus segmentum est AE. Quod oportebat facere. |
| ΑΛΛΩΣ. | ALITER. |
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Ἑστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ" δὲῖ δὴ τὴν ΑΒΈ ακρον και μὗσον λογον Τεμεῖν. |
Sit data recta AB ; oportet igitur AB secun- dum extremam et mediam rationem secare. |
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Τετμήσθω γαρ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Τ΄. ὠστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ τσὸν εἰνα ! τὸ ὧπὸ τῆς ΑΤ τετραγῶώνῷ. |
Secetur enim AB in LT, ita ut ipsum sub AB, BP æquale sit ipsi ex ipsá AT quadrato. |
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Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ-. ΒΓ ὅσον ἐστὶ τῷ απὸ τῆς ΤΑ" ἔστιν α’Ρα, ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΤ οὕτως ἡ |
Et quoniam ipsum sub AB, BT æquale est ipsi ex A ; estigitur ut AB ad AΓ ita AΓ ad ΓΒ ; |
autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc ZE est à EA comme AE est à EB. Mais ZE est égal à AT (54. 1), c’est-à-dire à AB, et EA est égal à AE ; donc BA est à AE comme AE est à EB. Mais AB est plus grand que AE ; donc AE est plus grand que EB.
Donc la droite AB a été coupée au point E en moyenne et extrême raison, et AE est son plus grand segment. Ce qu’il fallait faire.
Soit AB la droite donnée ; il faut couper AB en moyenne et extrême raison.
Coupons AB au point T, de manière que le rectangle sous AB, Br soit égal au quarré de AT (11. 2).
Puisque que le rectangle sous 4B, Br est égal au quarré de rA, AB est à AT
