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τωσὰν ἐν τῷ Ἐ, Ἐπεῖ ! οὖν ο Δ τόν Τ μετρει κατὰ τὰς ἐν Τ Ἐ μοναἆας. Οδαάρατον Ε πολλώπλα- σιάσας τὸν Τ πεποίηκεν. Αλλὰ μὴν καὶ Ο. Α τὸν Β ποιλλαπλαάσιασας τὸν Τ πεποιήκεν" ἰσὸς ἀρὰ ἐστὶν ο εκ τῶν Δ. Ε τῷ ἐκ τῶν Α-ς Β’ ἐστιν ἀρὰ ὡς ὃ Δ πρὸς τὸν Α οὕτως ὁ Β πρῦς τὸν Ἐ. Οἱ δὲ Δ. Α πρῶτο ! 5 0 δὲ πρώτοι καὶ ἐλαχιστοι » 0 δὲ ἐλάχιστο ; μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογὸν χοντας ἰΙσάκι ! ξ. 05 Τ μειζων τον μειζονα καὶ ὺ ἐλασσὼων τὸον ἐλασσονᾶ. τούυτέεστιν ὁ τε ἡγου- μένος τὸν ἡγουμένον καὶ ὁ « πομένος τὸν ἐπτομμενον" ὁ ἃ ἀρὰ τὸν Β μετρε ! . Ομοίως δὴ ἑ“ειξομεν ΟΤι καὶ ἐαν ο Δ τὸν Βὶ ΜΗ μετρῇ. τὸν Α μετρῆσει οΔ α’ροι ἐγώ τῶν Α5 Β μετρεί. Ο7ερ ἔδε, δεῖξαι. |
quoniam A ipsum Γ melitur per ipsas quae in E unitates, ipse Δ igitur ipsum E multiplicans ipsum Γ fecit. Sed quidem et A ipsum B multiplicans ipsum Γ fecit ; aequalis igitur est ipse ex Δ, E, ipsi ex A, B ; est igitur ut Δ ad A ita B ad E. Ipsi autem Δ, A primi, ipsi vero primi et minimi, ipsi autem minimi metiuntur equaliter ipsos eamdem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem, hoc est et antecedens antecendentem, et consequens consequentem ; ipse Δ igitur ipsum B metitur. Similiter utique ostendemus et si Δ ipsum B non metitur, ipsum A mensurum esse ; ipse Δ igitur unum corum A, B metitur. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγ. | PROPOSITIO XXXIII. |
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Απας σύυνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρωτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. |
Omnis compositus numerus a primo aliquo numero mensuratur. |
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Ἔστω σύνθετος αριθμος ο Α" λἐγω ὁτί ο Αὐπὸο ’πρώτου τιγὸς ἆριθμοὖ μετρεῖταις |
Sit compositus numerus A ; dico ipsum A à primo aliquo numero mensurari. |
de fois Γ. Puisque Δ mesure Γ par les unités qui sont en E, le nombre Δ multipliant E fera Γ. Mais A multipliant B fait Γ ; donc le produit de Δ par E est égal au produit de A par B ; donc Δ est à A comme B est à E (19.7). Mais Δ, A sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (25.7), et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont avec eux la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21.7) ; donc Δ mesure B. Nous démontrerons de la même manière que si Δ ne mesure pas B, il mesurera A ; donc Δ mesure un des nombres A, B. Ce qu’il fallait démontrer.
Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.
Que A soit un nombre composé ; je dis que A est mesuré par quelque nombre
